SỐ NGUYÊN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tập hợp số nguyên

- Các số tự nhiên (khác $0$) $1; \, 2; \, 3; \, 4; \dots$ còn được gọi là các số nguyên dương.

- Các số $-1; \, -2; \, -3; \dots$ gọi là các số nguyên âm.

- Tập hợp $\mathbb{Z}$ gồm các số nguyên âm, số $0$, số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.

$\mathbb{Z} = \{\dots; \, -3; \, -2; \, -1; \, 0; \, 1; \, 2; \, 3; \dots \}$

- Tập hợp các số nguyên được biểu diễn trên trục số.

- Cho $a, \, b \in \mathbb{Z}$. Trên trục số, các điểm $a; \, b$ cách đều điểm $0$ thì $a$ được gọi là số đối của $b$ và ngược lại $b$ cũng là số đối của $a$, số đối của $0$ là $0$.

2. Thứ tự trong $\mathbb{Z}$

- Trên trục số nằm ngang, chiều dương của trục số hướng từ trái qua phải, chiều ngược lại là chiều âm.

- Điểm biểu diễn số nguyên $a$ gọi là điểm $a$.

- Cho $a, \, b \in \mathbb{Z}$, nếu điểm $a$ nằm trước điểm $b$ thì số nguyên $a$ nhỏ hơn số nguyên $b$ (ký hiệu là $a < b$).

- Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn $0$, do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương.

- Nếu $a; \, b$ là hai số nguyên dương và $a > b$ thì $-a < -b$.

* Nâng cao: Với $a, \, b, \, c \in \mathbb{Z}$ nếu $a < b; \, b < c$ thì $a < c$ (tính chất bắc cầu).

3. Phép cộng và phép trừ số nguyên

- Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu "$-$" trước kết quả.

- Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng $0$.

- Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phần số tự nhiên của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

- Phép cộng số nguyên có các tính chất:

    * Giao hoán: $a + b = b + a$

    * Kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$

    * Cộng với $0$: $a + 0 = 0 + a = a$

- Muốn trừ số nguyên $a$ cho số nguyên $b$, ta cộng $a$ với số đối của $b$: $a - b = a + (-b)$.

- Quy tắc dấu ngoặc:

    * Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "$+$" đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.

    * Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "$-$" đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "$+$" đổi thành dấu "$-$" và dấu "$-$" đổi thành dấu "$+$".

4. Phép nhân số nguyên

- Nhân hai số nguyên khác dấu: Nếu $m, \, n \in \mathbb{N}^*$ thì $m \cdot (-n) = (-n) \cdot m = -(m \cdot n)$.

- Nhân hai số nguyên cùng dấu:

    +) Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác $0$.

    +) Nhân hai số nguyên âm: Nếu $m, \, n \in \mathbb{N}^*$ thì $(-m) \cdot (-n) = (-n) \cdot (-m) = m \cdot n$.

- Phép nhân số nguyên có các tính chất:

    * Giao hoán: $a \cdot b = b \cdot a$

    * Kết hợp: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$

    * Nhân với $1$: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

    * Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp giải:

- Áp dụng các tính chất của phép cộng, phép nhân số nguyên; quy tắc dấu ngoặc.

- Áp dụng các công thức, cách tính dãy số có quy luật.

Ví dụ 1. Thực hiện phép tính: $A=(1+2+3+\dots+2021) \cdot (1^2+2^2+3^2+\dots+10^2) \cdot (2020 \cdot 111 - 3 \cdot 5 \cdot 37 \cdot 404)$.

Lời giải

Ta có:

$A=(1+2+3+\dots+2021) \cdot (1^2+2^2+3^2+\dots+10^2) \cdot (2020 \cdot 111 - 3 \cdot 5 \cdot 37 \cdot 404)$

$= (1+2+3+\dots+2021) \cdot (1^2+2^2+3^2+\dots+10^2) \cdot [2020 \cdot 111 - (3 \cdot 37) \cdot (5 \cdot 404)]$

$= (1+2+3+\dots+2021) \cdot (1^2+2^2+3^2+\dots+10^2) \cdot (2020 \cdot 111 - 111 \cdot 2020)$

$= (1+2+3+\dots+2021) \cdot (1^2+2^2+3^2+\dots+10^2) \cdot 0 = 0$.

Vậy giá trị của biểu thức $A$ là $0$.

Dạng 2: Tìm $x$

Phương pháp giải:

- Áp dụng các kiến thức về số nguyên, thứ tự thực hiện phép tính, lũy thừa.

- Áp dụng các công thức, cách tính dãy số có quy luật.

Ví dụ 2. Tìm $x \in \mathbb{Z}$ biết: $(x+5)+(x+10)+(x+15)+\dots+(x+60)=450$.

Lời giải

Ta có: $(x+5)+(x+10)+(x+15)+\dots+(x+60)=450$

$\Rightarrow (x+x+x+\dots+x)+(5+10+15+\dots+60)=450 \quad (*)$

Xét tổng $S=5+10+15+\dots+60$.

Số số hạng của tổng $S$ là: $(60-5):5+1=12$ (số hạng).

Giá trị của tổng $S$ là: $(60+5) \cdot 12 : 2 = 390$.

Theo đề bài, mỗi một $x$ đi kèm với một số hạng cụ thể của $S$ nên có $12$ số hạng thì cũng có $12$ số $x$.

Thay các kết quả trên vào $(*)$ ta được:

$12 \cdot x+390=450$

$12 \cdot x=450-390$

$12 \cdot x=60$

$x=60 : 12$

$x=5$.

Vậy $x=5$.