Cho $a, \, b, \, c$ là những số nguyên khác không, $a \neq c$ thỏa mãn $\dfrac{a}{c}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2$ không phải là số nguyên tố.

Tìm tất cả các số nguyên dương $a, \, b$ sao cho $a^4+4b^4$ là một số nguyên tố.

Tìm các số nguyên dương $a, \, b, \, c$ thỏa mãn $\dfrac{a-b \sqrt{2018}}{b-c \sqrt{2018}}$ là số hữu tỉ và $a^2+b^2+c^2$ là số nguyên tố.

Cho các số nguyên dương $a, \, b, \, c, \, d$ thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+ab = c^2+d^2+cd$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số.

Chứng minh rằng: Nếu $p$ và $p^2+2$ là các số nguyên tố thì $p^3+2$ cũng là số nguyên tố.

Chứng minh rằng: Nếu $p$ và $p^2+2^p$ là các số nguyên tố thì $p^3+2$ cũng là số nguyên tố.

Tìm các số nguyên tố $p, \, q$ sao cho $q^3+1 \, \vdots \, p^2$ và $p^6-1 \, \vdots \, q^2$.

Cho $3$ số tự nhiên $a, \, b, \, c$ thỏa mãn điều kiện $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=ab+c(a+b)$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.

Tìm các số tự nhiên $x, \, y$ sao cho $p^x = y^4+4$ biết $p$ là số nguyên tố.

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{p^2+1}{2}$ và $\dfrac{p+1}{2}$ là số chính phương.

Tìm các số nguyên dương $x, \, y, \, z$ thỏa mãn $\dfrac{x-y\sqrt{3}}{y-z\sqrt{3}}$ là số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố.

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho tồn tại các số nguyên tố $p, \, q, \, r$ thỏa mãn $p^n+q^n=r^2$.

Cho $p$ là số nguyên tố sao cho phương trình $x^3+y^3-3xy=p-1$ có nghiệm nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của $p$.

Tìm các bộ số nguyên dương $(x, \, y)$ sao cho $p=x^2+y^2$ là số nguyên tố và $x^3+y^3-4$ chia hết cho $p$.

Tìm các số nguyên tố $x, \, y$ thỏa mãn phương trình $(x^2+2)^2=2y^4+11y^2+x^2y^2+9$.

Giả sử $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$ sao cho $8n+1$ và $24n+1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $8n+3$ là hợp số.

Tìm các số nguyên tố $p, \, q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$.

Giả sử $a, \, b$ là số tự nhiên sao cho $p=\dfrac{b}{4} \sqrt{\dfrac{2a-b}{2a+b}}$ là số nguyên tố. Tìm giá trị lớn nhất của $p$.

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng $(p-1)(p+1)$ chia hết cho $24$.

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng $p^4-1$ chia hết cho $48$.

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên $k$ sao cho $\sqrt{k^2-pk}$ là số nguyên dương.

Cho $p$ là số nguyên tố, $x, \, y$ là các số nguyên dương sao cho $A=\dfrac{x^2+py^2}{xy}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng $A=p+1$.

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh $2\,017-p^2$ chia hết cho $24$.

Cho $a, \, b, \, c$ là các số nguyên dương. Chứng minh $a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ không phải là số nguyên tố.

Tìm các số nguyên dương $x, \, y, \, z$ sao cho $x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)$ là số chính phương.

Tìm các số nguyên dương $x, \, y$ sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là số chính phương.

Tìm tất cả các số nguyên $m$ sao cho $m^4+m^3+1$ là một số chính phương.

Cho $m, \, n$ là hai số nguyên dương lẻ sao cho $n^2-1$ chia hết cho $|m^2-n^2+1|$. Chứng minh rằng $|m^2-n^2+1|$ là số chính phương.

Cho hai số nguyên $a; \, b$ thỏa mãn $a^2+b^2+1=2(ab+a+b)$. Chứng minh $a$ và $b$ là hai số chính phương liên tiếp.

Tìm tất cả số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n+1, \, 3n+1$ là các số chính phương và $2n+9$ là số nguyên tố.

Cho $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng: $S_n=1^{2\,019}+2^{2\,019}+\dots+n^{2\,019}$ chia hết cho $T_n=1+2+\dots+n$.

Cho $m, \, n$ là các số nguyên dương, giả sử $A=\dfrac{(m+n)^3}{n^2}$ là số nguyên lẻ. Tìm giá trị bé nhất có thể có của $A$ và tìm $m, \, n$ thỏa mãn giá trị này.

Tìm các số nguyên dương $a, \, b$ sao cho $\dfrac{a^3b-1}{a+1}$ và $\dfrac{b^3a+1}{b-1}$ là các số nguyên dương.

Cho các số tự nhiên $a, \, b, \, c, \, d, \, e$ biết $a+b+c+d+e=3a=4b=5c$ và $d+e=13$. Tìm số lớn nhất trong các số $a, \, b, \, c, \, d, \, e$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $m, \, n$ sao cho $m+n^2$ chia hết cho $m^2-n$ và $n+m^2$ chia hết cho $n^2-m$.

Tìm các số nguyên dương $x, \, y$ sao cho $2xy-1$ chia hết cho $(x-1)(y-1)$.

Tìm các số nguyên dương $x, \, y$ sao cho $4x^2+6x+3$ chia hết cho $2xy-1$.

Tìm các số nguyên dương $x, \, y$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$.

Tìm các số nguyên tố $x; \, y$ sao cho $x^2+3xy+y^2$ là lũy thừa của $5$.

Cho $x, \, y$ là các số nguyên $x, \, y \neq -1$ sao cho $\dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh: $x^4y^{44}-1$ chia hết $y+1$.

Xác định tất cả các số nguyên tố $p, \, q$ sao cho $\dfrac{p^{2n+1}-1}{p-1}=\dfrac{q^3-1}{q-1}$ với $n > 1, \, n \in \mathbb{Z}$.

Cho $a, \, b$ là các số nguyên và $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng nếu $p^4$ là ước của $a^2+b^2$ và $a(a+b)^2$ thì $p^4$ cũng là ước của $a(a+b)$.

Cho ba số nguyên dương khác nhau $x, \, y, \, z$. Chứng minh rằng $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ chia hết cho $5(x-y)(y-z)(z-x)$.

Chứng minh rằng nếu $a^2+b^2$ là bội số của $5$ thì hai số $A=2a+b; \, B=2b-a$ hoặc hai số $A'=2a-b; \, B'=2b+a$ chia hết cho $5$.

Cho $a, \, b, \, c, \, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab=cd$. Chứng minh rằng $A=a^n+b^n+c^n+d^n$ là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.

Cho $a, \, b \in \mathbb{Z}$ và $a \neq b$ thỏa mãn $ab(a+b)$ chia hết cho $a^2+ab+b^2$. Chứng minh rằng $|a-b| > \sqrt[3]{ab}$.

Có bao nhiêu số nguyên dương có $6$ chữ số $\overline{abcdef}$ sao cho $100(a-d)+10(b-e)+(c-f)$ chia hết cho $1\,001$?

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh $2+2\sqrt{12n^2+1}$ là số chính phương.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x ; \, y)$ thỏa mãn đẳng thức sau $x^4+2x^2=y^3$.

Tìm ba số nguyên tố $a, \, b, \, c$ thỏa mãn các điều kiện $a \lt b \lt c$ và $bc-1 \, \vdots \, a$, $ca-1 \, \vdots \, b$, $ab-1 \, \vdots \, c$.

Cho các số nguyên dương $a, \, b$ thỏa mãn $\dfrac{a+2}{b}+\dfrac{b+3}{a}$ là một số nguyên dương. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$. Chứng minh rằng $d^2 \le 2a+3b$.

Cho $x, \, y$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $x^2+y^2+10$ chia hết cho $xy$.

Tìm tất cả các số có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ thỏa mãn $\sqrt[3]{\overline{abcde}}=\overline{ab}$.

Cho $a, \, b, \, c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$. Chứng minh $a+b$ là số chính phương.

Tìm các cặp số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn $x(1+x+x^2)=4y(y-1)$.

Với mỗi $n \in \mathbb{N}$, xét hai số $a_n=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và $b_n=2^{2n+1}-2^{n+1}+1$. Chứng minh rằng có một và chỉ một trong hai số trên chia hết cho $5$.

Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng khi tăng mỗi chữ số một đơn vị thì số mới tạo thành là một số chính phương có bốn chữ số.

Tìm tất cả nghiệm nguyên dương $(x; \, y; \, z)$ và thỏa mãn $x \ge y \ge z \ge 8$ của phương trình $xyz+xy+yz+zx+x+y+z=2\,015$.

Cho $S$ là tập các số nguyên dương $n$ có dạng $n=x^2+3y^2$, trong đó $x, \, y$ là các số nguyên. Chứng minh rằng:

Tìm các số nguyên $m, \, n$ với $m \ge n \ge 0$ sao cho $(m+2n)^3$ là ước của $9n(m^2+mn+n^2)+16$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn phương trình $x^3-y^3=6xy+3$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+3^n$ là một số chính phương.

Cho phương trình $x^2+y^2+z^2=3xyz$ (1). Mỗi bộ số $(x; \, y; \, z)$ trong đó $x, \, y, \, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).

Chứng minh rằng nếu số tự nhiên $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì $b^2-4ac$ không là số chính phương.

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x ; \, y)$ thỏa mãn $2^x \cdot x^2 = 9y^2+6y+16$.

Tìm các số tự nhiên $n$ để $A=n^{2\,018}+n^{2\,008}+1$ là số nguyên tố.

Chứng minh biểu thức $S=n^5+5n^4+5n^3-5n^2-6n$ chia hết cho $120$ với mọi số nguyên $n$.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+5y^2-4xy+4x-4y+3=0$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; \, y)$ thỏa mãn $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

Tìm tất cả các số nguyên dương $x, \, y, \, z$ thỏa mãn $x+y-z=2$ và $3x^2+2y^2-z^2=13$.

Cho các số nguyên dương $a, \, b, \, c$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2$. Chứng minh rằng $ab$ chia hết cho $a+b+c$.

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n+1, \, 3n+1$ là các số chính phương và $2n+9$ là số nguyên tố.

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x, \, y$ thỏa mãn đẳng thức $12x^2+26xy+15y^2=4617$.

Giả sử $p$ và $q$ là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức $p(p-1)=q(q^2-1)$.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên $n$ để $A=n^4+4n^{p-1}$ là số chính phương.

Cho $x, \, y$ là hai số nguyên với $x > y > 0$.

Cho $p, \, q$ là hai số nguyên tố lớn hơn $5$. Chứng minh rằng $p^4+2019q^4$ chia hết cho $20$.

Cho các số nguyên dương $a, \, b, \, c, \, d$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $a \lt b \le c \lt d$, $ad=bc$ và $\sqrt{d}-\sqrt{a} \le 1$.

Cho $a, \, b$ là các số nguyên thỏa mãn $a^3+b^3 > 0$.

Cho $A_n=2\,018^n+2\,032^n-1\,964^n-1\,984^n$ với $n$ là số tự nhiên.

Tìm các số nguyên $x, \, y, \, z$ sao cho $x^2+y^2+z^2+6 \lt xy+3y+4z$.

Cho hai số nguyên dương $m, \, n$ thỏa mãn $m+n+1$ là một ước nguyên tố của $2(m^2+n^2)-1$. Chứng minh rằng $m \cdot n$ là một số chính phương.

Cho $a, \, b$ là các số nguyên dương. Đặt $A=(a+b)^2-2a^2$ và $B=(a+b)^2-2b^2$. Chứng minh rằng $A$ và $B$ không thể đồng thời là các số chính phương.

Cho $x, \, y$ là các số nguyên sao cho $x^2-2xy-y$ và $xy-2y^2-x$ đều chia hết cho $5$. Chứng minh rằng $2x^2+y^2+2x+y$ cũng chia hết cho $5$.

Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của $2$ số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên $n$ thì $n$ là tổng $2$ số chính phương liên tiếp.

Cho phương trình $x^3+2y^3+4z^3=9!$ $(1)$, trong đó $x, \, y, \, z$ là ẩn và $9!$ là tích của các số nguyên dương liên tiếp từ $1$ đến $9$. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x, \, y, \, z$ thỏa mãn $(1)$ thì $x, \, y, \, z$ đều chia hết cho $4$.

Cho phương trình $x^3+2y^3+4z^3=9!$ $(1)$, trong đó $x, \, y, \, z$ là ẩn và $9!$ là tích của các số nguyên dương liên tiếp từ $1$ đến $9$. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x, \, y, \, z$ thỏa mãn $(1)$.

Đặt $N=a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2\,017}+a_{2\,018}$ và $M=a_1^5+a_2^5+a_3^5+\dots+a_{2\,017}^5+a_{2\,018}^5$, trong đó $a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots, \, a_{2\,018}$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $N$ chia hết cho $30$ thì $M$ cũng chia hết cho $30$.

Tìm tất cả số tự nhiên $n$ và $k$ để $n^8+4^{2k+1}$ là số nguyên tố.

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\,017$.

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình $x^2(y+3)=y(x^2-3)^2$.

Cho $n$ là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $S_k=1^k+2^k+\dots+n^k$. Chứng minh rằng $S_{2\,019}$ chia hết cho $S_1$.

Cho $A=m^2n^2-4m-2n$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Khi $n=2$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A$ là số chính phương.

Cho $A=m^2n^2-4m-2n$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Khi $n \ge 5$, chứng minh rằng $A$ không thể là số chính phương.

Tìm nghiệm nguyên $(x ; \, y)$ của phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2020}$.

Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên thì $\dfrac{n^5+29n}{30}$ cũng là số nguyên.

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x; \, y)$ thỏa mãn điều kiện các số $2(x^2+y^2-3x+2y)-1$ và $5(x^2+y^2+4x+2y+3)$ đều là các số chính phương.

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $7^n+147$ là số chính phương.

Tìm các cặp số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn điều kiện $x^2-6xy+10y^2=2(x-5y)$.

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+y^2=z^2$.

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $\sqrt{12n^2+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $2\sqrt{12n^2+1}+2$ là một số chính phương.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2-2y(x-y)=2(x+1)$.

Chứng minh rằng biểu thức $M=\left[(27n+5)^7+10\right]^7+\left[(10n+27)^7+5\right]^7+\left[(5n+10)^7+27\right]^7$ chia hết cho $42$ với mọi số nguyên dương $n$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn $y^2+y=x^4+x^3+x^2+x$.

Cho hai số nguyên dương $x, \, y$ với $x > 1$ và thỏa mãn điều kiện $2x^2-1=y^{15}$. Chứng minh rằng $x$ chia hết cho $15$.

Tìm các cặp số nguyên dương $(x; \, y)$ sao cho $x^2y+x+y$ chia hết cho $xy^2+y+1$.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, số $M=9 \cdot 3^{4n}-8 \cdot 2^{4n}+2\,019$ chia hết cho $20$.

Cho tập hợp $A$ gồm $16$ số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ đều tồn tại hai số phân biệt $a, \, b$ sao cho $a^2+b^2$ là số nguyên tố.

Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p^3-4p+9$ là số chính phương.

Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng $\overline{82xxyy}$ với $\overline{xxyy}$ là số chính phương.

Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^4+n^3+1$ là số chính phương.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $9^n+11$ là tích của $k$ ($k \in \mathbb{N}, \, k \ge 2$) số tự nhiên liên tiếp.

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $C=2\,019^n+2\,020$ là số chính phương.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại cặp số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn hệ phương trình: $\begin{cases} p+1=2x^2 \\ p^2+1=2y^2 \end{cases}$.

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{abcd}=k^2$ ($k \in \mathbb{N}^*$) và $\overline{ab}-\overline{cd}=1$ (các chữ số tự nhiên có thể giống nhau).

Tìm tất cả các cặp hai số nguyên $(x; \, y)$ thỏa mãn $x^4-x^3+1=y^2$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $x, \, y, \, z$ thỏa mãn $\dfrac{x+y\sqrt{2\,019}}{y+z\sqrt{2\,019}}$ là số hữu tỷ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n \ge 6$ thì số $a_n=1+\dfrac{2 \cdot 6 \cdot 10 \dots (4n-2)}{(n+5)(n+6) \dots (2n)}$ là một số chính phương.

Có bao nhiêu tập hợp con $A$ của tập hợp $\{1; \, 2; \, 3; \dots; \, 2014\}$ thỏa mãn điều kiện $A$ có ít nhất $2$ phần tử và nếu $x \in A, \, y \in A, \, x > y$ thì $\dfrac{y^2}{x-y} \in A$.

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n$ và $10$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $(n^4-1)$ chia hết cho $40$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x, \, y$ thỏa mãn $\begin{cases} p-1=2x(x+2) \\ p^2-1=2y(y+2) \end{cases}$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x, \, y, \, z$ thoả mãn $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$.

Tìm các số nguyên $x, \, y$ thỏa mãn $x^4+x^2-y^2-y+20=0$.

Tìm các số nguyên $k$ để $k^4-8k^3+23k^2-26k+10$ là số chính phương.

Tìm các số nguyên không âm $a, \, b, \, n$ thỏa mãn: $\begin{cases} n^2=a+b \\ n^3+2=a^2+b^2 \end{cases}$.

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a, \, b, \, c$ đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện $20abc \lt 30(ab+bc+ca) \lt 21abc$.