Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}$ với $x>0, y>0$.

Rút gọn biểu thức: $P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{4\sqrt{x}-3}{x-1}$ với $x\ge 0;$ $x\ne 1.$

Cho biểu thức $P=\Bigg(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Bigg)\Bigg(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{x-1}\Bigg)$ với $x>0;x\ne 1$. Tìm $x$ để $P > 1$.

Rút gọn biểu thức $A=\Big(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{3}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{x-4} \Big):\Big(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-x} \Big)$ với $x>0;x\ne 4$.

Tìm giá trị lớn nhất của $A-x+\sqrt{x}$ biết $A=\Bigg(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}} \Bigg):\dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0,\,x\ne 1$.

Rút gọn biểu thức: $P=\Bigg(\dfrac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}-1}-\dfrac{\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}+4\sqrt{b} \Bigg)\dfrac{1}{2b\sqrt{b}}$ với $x>0;\,x\ne 1;\,x\ne 4$.

Rút gọn biểu thức: $P=\Bigg(\dfrac{\sqrt{a}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}} \Bigg)\Bigg(\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \Bigg)$ với $a > 0,\, a \ne1$.

Cho biểu thức $A=\Big[\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}} \Big]:\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}$ với $x>0$; $x\ne 1$. Rút gọn $A$ và chứng minh $A\lt \dfrac{2}{3}$.

Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{9\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}-6}$ (với $0 \leq x \ne 2$).

Cho biểu thức: $P=\Big(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+4\sqrt{a} \Big)\Big(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}} \Big)$.