Cho biểu thức $A = \dfrac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^4 - 10x^2 + 9}$.

a) Rút gọn $A$;

b) Tìm $x$ để $A = 0$;

c) Tìm giá trị của $A$ khi $|2x - 1| = 7$.

Cho biểu thức $A = \dfrac{x^3 + x^2 - 2x}{x|x + 2| - x^2 + 4}$.

a) Rút gọn $A$;

b) Tìm $x$ nguyên để $A$ có giá trị nguyên;

c) Tìm giá trị của $A$ khi $x = 6$.

Cho biểu thức $A = \Big( \dfrac{y}{x^2 - xy} - \dfrac{x}{xy - y^2} \Big)\cdot \dfrac{x^2y + xy^2}{x^2 - y^2}$ ($x \neq 0, y \neq 0, x \neq \pm y$)

a) Rút gọn $A$;

b) Tính giá trị của $A$ khi $x \gt y \gt 0$ và thỏa mãn: $2x^2 + 2y^2 = 5xy$.

Cho biểu thức: $A = \Big[ \dfrac{3(x + 2)}{2(x^3 + x^2 + x + 1)} + \dfrac{2x^2 - x - 10}{2(x^3 - x^2 + x - 1)} \Big] : \Big[ \dfrac{5}{x^2 + 1} + \dfrac{3}{2(x + 1)} - \dfrac{3}{2(x - 1)} \Big]$ với $x\ne \pm 1$ và $x\ne \pm 2$.

a) Rút gọn $A$;

b) Tính giá trị của $A$ khi $|2x - 1| = 1$;

c) Tìm $x$ để $A \gt 0$.

Cho biểu thức: $A = \Big( \dfrac{x + 2}{3x} + \dfrac{2}{x + 1} - 3 \Big) : \dfrac{2 - 4x}{x + 1} - \dfrac{3x + 1 - x^2}{3x}$ (với $x \neq 0, x \neq -1, x \neq \dfrac{1}{2}$).

a) Rút gọn $A$;

b) Tính giá trị của $A$ khi $2\,014 - |2x - 1| = 2\,013$;

c) Tìm $x$ để $A \lt 0$;

d) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ có giá trị là số nguyên.

Cho biểu thức:

$A = \Big( \dfrac{x}{x^2 - 4} + \dfrac{2}{2 - x} + \dfrac{1}{x + 2} \Big) : \Big( x - 2 + \dfrac{10 - x^2}{x + 2} \Big)$ (với $x \neq \pm 2$).

a) Rút gọn $A$;

b) Tính giá trị của $A$ khi $|x| = \dfrac{1}{2}$;

c) Tìm $x$ để $A \lt 0$;

d) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức:

$B = \Big( \dfrac{1}{x^2 + x} - \dfrac{2 - x}{x + 1} \Big) : \Big( \dfrac{1}{x} + x - 2 \Big)$ (với $x \neq 0, x \neq \pm 1$).

a) Rút gọn $B$;

b) Tính giá trị của $B$ khi $x^2 - 3x + 2 = 0$;

c) Tìm $x$ để $B = \dfrac{1}{2}$;

d) Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $B$ nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức:

$C = \Big( \dfrac{x}{x^2 - 36} - \dfrac{x - 6}{x^2 + 6x} \Big) : \dfrac{2x - 6}{x^2 + 6x}$ (với $x \neq 0, x \neq \pm 6, x \neq 3$).

a) Rút gọn $C$;

b) Tính giá trị của $C$ khi $x = -4$;

c) Tìm $x$ để $C = 1$;

d) Tìm $x$ nguyên để $C$ nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức:

$D = \dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4x + 4} : \Big( \dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{x + 2}{x} \Big)$ (với $x \neq 0, x \neq \pm 2$).

a) Rút gọn $D$;

b) Tính giá trị của $D$ khi $x = 4$;

c) Tìm $x$ để $D \gt 0$;

d) Tìm các giá trị của $x$ để $D = \dfrac{1}{2}$.

Cho biểu thức:

$E = \Big( \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2x}{x^3 - x^2 + x - 1} \Big) : \Big( 1 - \dfrac{2x}{x^2 + 1} \Big)$ (với $x \neq 1$).

a) Rút gọn $E$;

b) Tính giá trị của $E$ khi $x = -3$;

c) Tìm $x$ để $E \lt 0$;

d) Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $E$ nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức:

$G = \Big( \dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a} \Big) : \dfrac{a + b}{ab}$ (với $a \neq 0, b \neq 0, a \neq -b$).

a) Rút gọn biểu thức $G$;

b) Tính giá trị của $G$ khi $|a - 1| = 2$ và $b = -2$;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = G^2 + 4G + 5$.

Cho biểu thức:

$P = \dfrac{x^3 + y^3}{x + y} - \dfrac{x^3 - y^3}{x - y}$ (với $x \neq \pm y$).

a) Rút gọn biểu thức $P$;

b) Tính giá trị của $P$ khi $x = 2, y = -3$;

c) Tìm giá trị lớn nhất của $P$ biết $x^2 + y^2 = 10$.

Cho biểu thức:

$R = \Big( \dfrac{x}{xy - y^2} - \dfrac{y}{x^2 - xy} \Big) : \dfrac{x^2 + y^2}{x^2y - xy^2}$ (với $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$).

a) Rút gọn biểu thức $R$;

b) Tính giá trị của $R$ khi $x = 2y$;

c) Chứng minh $R \lt 1$ với mọi $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$.

Cho biểu thức:

$X = \dfrac{a^3}{(a - b)(a - c)} + \dfrac{b^3}{(b - c)(b - a)} + \dfrac{c^3}{(c - a)(c - b)}$ (với $a \neq b, b \neq c, c \neq a$).

a) Rút gọn biểu thức $X$;

b) Tính giá trị của $X$ khi $a = 1, b = 2, c = 3$;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = X^2 - 2X + 5$.

Cho biểu thức:

$W = \Big( \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \Big) : \Big( \dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} + 2 \Big)$ (với $a \neq 0, b \neq 0$).

a) Rút gọn biểu thức $W$;

b) Tính giá trị của $W$ khi $a = 3, b = 4$;

c) Chứng minh $W \le \dfrac{1}{2}$.

Cho biểu thức:

$V = \Big( \dfrac{1}{x^2 - xy} + \dfrac{1}{y^2 - xy} \Big) \cdot \dfrac{x^2y^2}{x^2 - y^2}$ (với $x \neq 0, y \neq 0, x \neq \pm y$).

a) Rút gọn biểu thức $V$;

b) Tính giá trị của $V$ khi $x = 2, y = 3$;

c) Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^2 - y^2 = 5$ để $V$ nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức:

$T = \dfrac{(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3}{3(x - y)(y - z)}$ (với $x \neq y, y \neq z$).

a) Rút gọn biểu thức $T$;

b) Tính giá trị của $T$ khi $x = 10, y = 5, z = -2$;

c) Tìm giá trị lớn nhất của $T$ biết $x^2 + z^2 = 8$.

Cho biểu thức:

$S = \Big( 1 - \dfrac{2ab}{a^2 + b^2} \Big) \cdot \dfrac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3}$ (với $a \neq b, a^2 + b^2 \neq 0$).

a) Rút gọn biểu thức $S$;

b) Tính giá trị của $S$ khi $a = 4, b = 2$;

c) Chứng minh rằng $S \gt 0$ với mọi $a \gt b \gt 0$.

Cho biểu thức:

$R = \Big( \dfrac{x}{xy - y^2} - \dfrac{y}{x^2 - xy} \Big) : \dfrac{x^2 + y^2}{x^2y - xy^2}$ (với $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$).

a) Rút gọn biểu thức $R$;

b) Tính giá trị của $R$ khi $x = 2y$;

c) Chứng minh $R \lt 1$ với mọi $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$.

Cho biểu thức:

$D = \dfrac{x^4 - y^4}{x^3 - x^2y + xy^2 - y^3}$ (với $x \neq y$).

a) Rút gọn biểu thức $D$;

b) Tính giá trị của $D$ khi $x = 10, y = -2$;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = D^2 - 6D + 15$.