CHUYÊN ĐỀ 5: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

A. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

$\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g^2(x) \end{cases}$

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt{x^2 + 2x + 6} = 4x - 1$.

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

$\begin{cases} 4x - 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + 6 = (4x - 1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \dfrac{1}{4} \\ 15x^2 - 10x - 5 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \dfrac{1}{4} \\ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \dfrac{1}{4} \\ (x - 1)(3x + 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1$.

Kết luận $x = 1$ là nghiệm của phương trình.

II. MỘT SỐ CÁCH ĐẬT ẨN PHỤ KHÁC

1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phương trình một ẩn

+ Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức $f(x)$ để đặt $f(x) = t$ sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn $t$. Những bài toán dạng này nói chung là cơ bản.

+ Trong nhiều trường hợp, ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình, ta có thể chia cho $g(x)$ phù hợp (thông thường ta chia cho $x^k$ với $k$ là số hữu tỉ).

+ Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới phức tạp (như số mũ cao, căn bậc cao...), ta có thể nghĩ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức để giải.

Ví dụ 2. Giải phương trình: $(2x - 1)^2 - 9 = 4\sqrt{x^2 - x}$.

Lời giải:

Khai triển vế trái, ta viết lại phương trình thành: $4x^2 - 4x - 8 - 4\sqrt{x^2 - x} = 0$.

Đặt $t = \sqrt{x^2 - x} \ge 0$, ta có phương trình mới: $4t^2 - 4t - 8 = 0 \Leftrightarrow t^2 - t - 2 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)(t - 2) = 0$.

Kết hợp điều kiện, suy ra $t = 2$.

Giải $t = 2$ ta có: $x^2 - x = 4 \Leftrightarrow x^2 - x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về hệ đối xứng loại II

Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các phương trình dạng: $ax^2 + bx + c = d\sqrt{ex + h}$ hoặc $ax^3 + bx^2 + cx + d = e\sqrt[3]{gx + h}$.

Với mục đích tạo ra các hệ đối xứng hoặc gần đối xứng, ta thường làm theo cách:

- Đối với phương trình dạng: $ax^2 + bx + c = d\sqrt{ex + h}$.

Ta đặt $my + n = \sqrt{ex + h}$ thì thu được hệ:

$\begin{cases} ax^2 + bx + c = d(my + n) \\ m^2y^2 + 2mny + n^2 = ex + h \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ax^2 + bx - dmy + c - dn = 0 \\ m^2y^2 + 2mny - ex + n^2 - h = 0 \end{cases}$

Ta mong muốn có quan hệ $x = y$. Nếu điều này xảy ra thì từ hệ trên ta sẽ có tỉ lệ: $\dfrac{a}{m^2} = \dfrac{b - dm}{2mn} = \dfrac{c - dn}{n^2 - h} \quad (*)$. Công việc còn lại là chọn $m, \, n$ nguyên thỏa mãn $(*)$.

- Đối với phương trình dạng: $ax^3 + bx^2 + cx + d = e\sqrt[3]{gx + h}$.

Ta đặt $my + n = \sqrt[3]{gx + h}$ và thực hiện tương tự để tìm $m, \, n$ thông qua tỉ lệ đồng nhất hệ số.

Ví dụ 3. Giải phương trình: $2x^2 - 6x - 1 = \sqrt{4x + 5}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge -\dfrac{5}{4}$.

Đặt $my + n = \sqrt{4x + 5}$, nhân $2$ vào phương trình ban đầu ta có hệ:

$\begin{cases} 4x^2 - 12x - 2 = 2(my + n) \\ m^2y^2 + 2mny + n^2 = 4x + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4x^2 - 12x - 2my - 2 - 2n = 0 \\ m^2y^2 + 2mny - 4x + n^2 - 5 = 0 \end{cases}$

Ta cần tìm $m, \, n$ để tạo ra quan hệ $x = y$:

$\Leftrightarrow \dfrac{4}{m^2} = \dfrac{-12 - 2m}{2mn - 4} = \dfrac{-2 - 2n}{n^2 - 5}$.

Chọn $m = 2 \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{-2 - 2n}{n^2 - 5} = 1 \\ \dfrac{-16}{4n - 4} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} n^2 + 2n - 3 = 0 \\ 4n = -12 \end{cases} \Rightarrow n = -3$.

Từ đó ta có lời giải chính thức như sau: Đặt $2y - 3 = \sqrt{4x + 5}$, ta thu được hệ:

$\begin{cases} 4x^2 - 12x - 2 = 2(2y - 3) \\ (2y - 3)^2 = 4x + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (2x - 3)^2 = 4y + 5 \\ (2y - 3)^2 = 4x + 5 \end{cases}$

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có: $(2x - 3)^2 - (2y - 3)^2 = 4(y - x)$

$\Leftrightarrow (2x - 2y)(2x + 2y - 6) + 4(x - y) = 0 \Leftrightarrow 4(x - y)(x + y - 3 + 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = y \\ x + y = 2 \end{cases}$

- Trường hợp 1: $x = y \Leftrightarrow 2x - 3 = \sqrt{4x + 5} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \dfrac{3}{2} \\ (2x - 3)^2 = 4x + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \dfrac{3}{2} \\ 4x^2 - 16x + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 + \sqrt{3}$.

- Trường hợp 2: $y = 2 - x \Leftrightarrow 2(2 - x) - 3 = \sqrt{4x + 5} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 - 2x \ge 0 \\ (1 - 2x)^2 = 4x + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \le \dfrac{1}{2} \\ 4x^2 - 8x - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt{2}$.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là $x = 2 + \sqrt{3}, \, x = 1 - \sqrt{2}$.

III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Lời giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp

Dấu hiệu:

+ Khi ta gặp phương trình dạng: $\sqrt[n]{f(x)} + \sqrt[m]{g(x)} + h(x) = 0$ mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích khó khăn.

+ Có thể nhẩm được nghiệm của phương trình (sử dụng máy tính cầm tay).

Phương pháp:

- Đặt điều kiện chặt của phương trình (nếu có).

Ví dụ đối với phương trình: $\sqrt{x^2 + 8} + 2 = \sqrt{x^2 + 3} + 3x$. Nếu bình thường ta thấy phương trình xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Nhưng đó chưa phải điều kiện chặt. Ta viết lại thành: $\sqrt{x^2 + 8} - \sqrt{x^2 + 3} = 3x - 2$. Để ý rằng vế trái luôn dương nên phương trình có nghiệm khi $3x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{3}$.

- Nếu phương trình chỉ có một nghiệm $x_0$, ta phân tích phương trình thành:

$\Big(\sqrt[n]{f(x)} - \sqrt[n]{f(x_0)}\Big) + \Big(\sqrt[m]{g(x)} - \sqrt[m]{g(x_0)}\Big) + \Big(h(x) - h(x_0)\Big) = 0$

Sau đó nhân lượng liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý:

+ Bậc 3: $(\sqrt[3]{a} - b)(\sqrt[3]{a^2} + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a - b^3$

+ Bậc 2: $(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2$

Sau bước phân tích và rút nhân tử chung $x - x_0$, phương trình ban đầu trở thành: $(x - x_0)A(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x - x_0 = 0 \\ A(x) = 0 \end{bmatrix}$. Việc còn lại là dùng bất đẳng thức hoặc đánh giá cơ bản để chứng minh $A(x) = 0$ vô nghiệm.

- Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1, \, x_2$, nhân tử chung sẽ là $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2$. Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong $\sqrt[n]{f(x)}$, ta trừ đi một lượng $ax + b$. Khi đó nhân tử chung sẽ xuất hiện sau khi nhân liên hợp $\sqrt[n]{f(x)} - (ax + b)$.

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 2} + 2x - 1 = 0$.

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge -2$. Nếu ta bình phương liên tục sẽ tạo ra phương trình bậc 4.

Để ý rằng $x = -1$ là một nghiệm của phương trình nên ta sẽ phân tích để tạo nhân tử chung là $x + 1$. Tại $x = -1$ thì $\sqrt{x + 5} = 2$ và $\sqrt{x + 2} = 1$, nên ta viết lại thành:

$(\sqrt{x + 5} - 2) + (\sqrt{x + 2} - 1) + 2x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{\sqrt{x + 5} + 2} + \dfrac{x + 1}{\sqrt{x + 2} + 1} + 2(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x + 5} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + 1} + 2\right) = 0 \quad (*)$.

Với điều kiện $x \ge -2$ thì cụm trong ngoặc luôn lớn hơn $0$, nên phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất $x = -1$.

2. Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phương trình

Ta thường gặp phương trình dạng này ở các biến thể như:

$ax^2 + bx + c = d\sqrt{px^3 + qx^2 + rx + t}$

$ax^2 + bx + c = d\sqrt{px^4 + qx^3 + rx^2 + ex + h}$

Phương pháp chung: Phân tích biểu thức trong căn thành tích của 2 đa thức $P(x)$ và $Q(x)$. Ta biến đổi $ax^2 + bx + c = m \cdot P(x) + n \cdot Q(x)$ bằng cách đồng nhất hai vế.

Khi đó phương trình trở thành: $m \cdot P(x) + n \cdot Q(x) = d\sqrt{P(x) \cdot Q(x)}$. Chia hai vế cho biểu thức $Q(x) > 0$, ta thu được phương trình theo ẩn $t = \sqrt{\dfrac{P(x)}{Q(x)}} \ge 0$.

Ví dụ 5. Giải phương trình: $2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge -2$. Ta viết lại phương trình thành: $2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$.

Giả sử $x^2 - 3x + 2 = m(x + 2) + n(x^2 - 2x + 4)$. Suy ra $m, \, n$ phải thỏa mãn:

$\begin{cases} n = 1 \\ m - 2n = -3 \\ 2m + 4n = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -1 \\ n = 1 \end{cases}$

Phương trình đã cho có dạng: $-2(x + 2) + 2(x^2 - 2x + 4) - 3\sqrt{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = 0$.

Do $x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 > 0$, chia phương trình cho $x^2 - 2x + 4$ ta thu được:

$-2\left(\dfrac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}\right) - 3\sqrt{\dfrac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}} + 2 = 0$.

Đặt $t = \sqrt{\dfrac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}} \ge 0$, ta có: $-2t^2 - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = -2 \text{ (loại)} \\ t = \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$.

Với $t = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{x + 2}{x^2 - 2x + 4} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x^2 - 2x + 4 = 4x + 8 \Leftrightarrow x^2 - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 3 + \sqrt{13} \\ x = 3 - \sqrt{13} \end{bmatrix}$ (cả hai đều thỏa mãn $x \ge -2$).

3. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong phương trình để đặt làm ẩn, sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một phương trình bậc hai: $mt^2 + g(x)t + h(x) = 0$ (vẫn còn chứa ẩn $x$).

+ Vấn đề là phải chọn $m$ sao cho phương trình có biệt thức $\Delta$ chính phương (dạng $\Delta = [A(x)]^2$), từ đó dễ dàng tính $t$ theo $x$. Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả với các phương trình dạng $ax^2 + bx + c + (dx + e)\sqrt{px^2 + qx + r} = 0$.

Ví dụ 6. Giải phương trình: $x^2 + 1 - (x + 1)\sqrt{x^2 - 2x + 3} = 0$.

Lời giải:

Đặt $t = \sqrt{x^2 - 2x + 3} > 0 \Rightarrow t^2 = x^2 - 2x + 3$. Phương trình trở thành: $x^2 + 1 - (x + 1)t = 0$.

Ta tạo ra phương trình bậc hai theo $t$: $mt^2 - (x + 1)t + x^2 + 1 - m(x^2 - 2x + 3) = 0$.

$\Leftrightarrow mt^2 - (x + 1)t + (1 - m)x^2 + 2mx + 1 - 3m = 0$.

Ta có $\Delta = (x + 1)^2 - 4m[(1 - m)x^2 + 2mx + 1 - 3m] = (4m^2 - 4m + 1)x^2 + (2 - 8m^2)x + 12m^2 - 4m + 1$.

Ta mong muốn $\Delta = (Ax + B)^2 \Leftrightarrow \Delta_m = (1 - 4m^2)^2 - (4m^2 - 4m + 1)(12m^2 - 4m + 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Khi $m = 1$, phương trình mới là: $t^2 - (x + 1)t + 2x - 2 = 0$. Ta có $\Delta = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Từ đó: $\begin{bmatrix} t = \dfrac{x + 1 - (x - 3)}{2} = 2 \\ t = \dfrac{x + 1 + (x - 3)}{2} = x - 1 \end{bmatrix}$.

- Trường hợp 1: $t = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 2x + 3} = 2 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.

- Trường hợp 2: $t = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 - 2x + 3} = x - 1 \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow 3 = 1$ (vô lý).

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 1 \pm \sqrt{2}$.

IV. SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bài toán giải được bằng hằng đẳng thức thường có dạng $ax^3 + bx^2 + cx + d = e(fx + h)\sqrt{px + q}$ hoặc có chứa căn bậc ba. Phương pháp chung là đặt căn thức bằng $y$, đưa về dạng hệ tạm, rồi biến đổi về $m(Ax + B)^3 + n(Ax + B) = my^3 + ny$.

Ví dụ 7. Giải phương trình: $8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = \sqrt[3]{3x - 5}$.

Lời giải:

Đặt $y = \sqrt[3]{3x - 5} \Rightarrow y^3 = 3x - 5$. Ta có hệ: $\begin{cases} 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = y \\ 3x - 5 = y^3 \end{cases}$

Cộng hai phương trình, ta thu được: $8x^3 - 36x^2 + 56x - 30 = y^3 + y$.

Ta biến đổi vế trái thành $[A(x)]^3 + A(x)$. Giả sử $8x^3 - 36x^2 + 56x - 30 = (2x + a)^3 + (2x + a)$.

Đồng nhất hệ số của $x^2 \Rightarrow 3 \cdot (2x)^2 \cdot a = -36x^2 \Rightarrow 12a = -36 \Rightarrow a = -3$.

Kiểm tra lại: $(2x - 3)^3 + (2x - 3) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 + 2x - 3 = 8x^3 - 36x^2 + 56x - 30$ (chính xác).

Phương trình trở thành: $(2x - 3)^3 + (2x - 3) = y^3 + y$.

Đặt $z = 2x - 3$, ta có $z^3 + z = y^3 + y \Leftrightarrow (z - y)(z^2 + zy + y^2 + 1) = 0$.

Vì $z^2 + zy + y^2 + 1 = \Big(z + \dfrac{y}{2}\Big)^2 + \dfrac{3}{4}y^2 + 1 > 0$ với mọi $y, \, z$ nên $z = y$.

$\Rightarrow 2x - 3 = \sqrt[3]{3x - 5} \Leftrightarrow (2x - 3)^3 = 3x - 5 \Leftrightarrow 8x^3 - 36x^2 + 51x - 22 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(8x^2 - 20x + 11) = 0$.

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 2 \\ x = \dfrac{5 \pm \sqrt{3}}{4} \end{bmatrix}$.

V. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Những kỹ thuật quan trọng để giải phương trình bằng phương pháp đánh giá:

+ Dùng hằng đẳng thức tổng các bình phương: $A_1^2 + A_2^2 + \dots + A_n^2 = 0 \Leftrightarrow A_1 = A_2 = \dots = A_n = 0$.

+ Dùng các bất đẳng thức cổ điển (AM-GM, Cauchy-Schwarz,...).

+ Dùng tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ 8. Giải phương trình: $4x^2 + 3x + 3 = 4x\sqrt{x + 3} + 2\sqrt{2x - 1}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x \ge \dfrac{1}{2}$. Ta viết lại phương trình thành:

$4x^2 - 4x\sqrt{x + 3} + (x + 3) + 2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (2x - \sqrt{x + 3})^2 + (\sqrt{2x - 1} - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x - \sqrt{x + 3} = 0 \\ \sqrt{2x - 1} - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1$.

Thử lại $x = 1$ thấy thỏa mãn phương trình. Vậy nghiệm là $x = 1$.