Phương Trình Chứa Tham Số Và Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình chứa tham số

+ Phương trình bậc nhất chứa tham số luôn có thể đưa về dạng chuẩn $Ax = B$. Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào việc biện luận các hệ số $A$ và $B$.

+ Đối với phương trình phân thức chứa tham số, nghiệm tìm được bắt buộc phải thỏa mãn Điều Kiện Xác Định (ĐKXĐ).

2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+ Định nghĩa: $|A| = A$ nếu $A \ge 0$; và $|A| = -A$ nếu $A < 0$.

+ Tính chất: $|A| \ge 0$; $|A|^2 = A^2$; $|A| = |-A|$; $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$.

II. CÁC DẠNG BÀI ĐIỂN HÌNH

Dạng 1. Giải và biện luận phương trình chứa tham số

Phương pháp giải chi tiết

⚡ Bước 1: Tìm Điều Kiện Xác Định (ĐKXĐ) nếu phương trình có chứa ẩn ở mẫu.

⚡ Bước 2: Biến đổi, quy đồng, rút gọn để đưa phương trình về dạng chuẩn $Ax = B \quad (*)$.

⚡ Bước 3: Biện luận phương trình $(*)$:

  - Nếu $A \neq 0$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{B}{A}$.

  - Nếu $A = 0$ và $B \neq 0$: Phương trình có dạng $0x = B$, vô nghiệm.

  - Nếu $A = 0$ và $B = 0$: Phương trình có dạng $0x = 0$, có vô số nghiệm.

⚡ Bước 4 (Dành riêng cho dạng phân thức): Đối chiếu nghiệm $x$ tìm được ở Bước 3 với ĐKXĐ. Nếu nghiệm $x$ làm mẫu số bằng $0$, ta phải loại giá trị nghiệm đó (lúc này phương trình thực chất là vô nghiệm với giá trị tham số tương ứng). Kết luận tổng hợp.

Ví dụ 1.1. Giải và biện luận nghiệm của phương trình $(2m + 1)x - 2m = 3x - 2$.

Lời giải

Ta biến đổi: $(2m - 2)x = 2m - 2$.

⚡ Trường hợp 1: $2m - 2 \neq 0$ hay $m \neq 1$.

Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất: $x = 1$.

⚡ Trường hợp 2: $2m - 2 = 0$ hay $m = 1$.

Khi đó, phương trình trở thành $0 \cdot x = 0$ (luôn đúng).

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Ví dụ 1.2. Giải và biện luận phương trình: $\dfrac{m}{x-m} + \dfrac{3m^2 - 4m + 3}{m^2 - x^2} = \dfrac{1}{x+m}$.

Lời giải

Điều kiện xác định: $x \neq \pm m$.

Ta có $\dfrac{m}{x-m} + \dfrac{3m^2 - 4m + 3}{m^2 - x^2} = \dfrac{1}{x+m}$

$\dfrac{m(x+m)}{(x-m)(x+m)} - \dfrac{3m^2 - 4m + 3}{(x-m)(x+m)} = \dfrac{x-m}{(x-m)(x+m)}$

$m(x+m) - (3m^2 - 4m + 3) = x - m$

$mx + m^2 - 3m^2 + 4m - 3 = x - m$

$mx - x = 2m^2 - 5m + 3$

$x(m - 1) = (m - 1)(2m - 3)$ (*)

⚡Trường hợp 1: $m - 1 = 0$ hay $m = 1$.

Phương trình trở thành: $0x = 0$.

Phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định ($x \neq \pm 1$).

Vậy với $m = 1$, phương trình có nghiệm là mọi $x \in \mathbb{R} \setminus \{1; -1\}$.

⚡Trường hợp 2: $m \neq 1$.

Phương trình có nghiệm duy nhất: $x = \dfrac{(m - 1)(2m - 3)}{m - 1} = 2m - 3$.

Đối chiếu điều kiện xác định $x \neq \pm m$:

$x \neq m\Rightarrow 2m - 3 \neq m \Rightarrow m \neq 3$.

$x \neq -m \Rightarrow 2m - 3 \neq -m \Rightarrow 3m \neq 3 \Rightarrow m \neq 1$.

Kết luận:

Với $m = 1$: Phương trình có vô số nghiệm $x \in \mathbb{R} \setminus \{1; -1\}$.

Với $m = 3$: Phương trình vô nghiệm.

Với $m \neq 1$ và $m \neq 3$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2m - 3$.

Dạng 2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đưa phương trình về một trong các kiểu sau:

⚡ Kiểu 1: $|A(x)| = |B(x)|$

- Phương pháp: Biến đổi trực tiếp thành hai trường hợp $A(x) = B(x)$ hoặc $A(x) = -B(x)$.

⚡ Kiểu 2: $|A(x)| = B(x)$

- Bước 1: Đặt điều kiện có nghiệm là vế phải không âm: $B(x) \ge 0$.

- Bước 2: Phá dấu GTTĐ thành hai trường hợp: $A(x) = B(x)$ hoặc $A(x) = -B(x)$.

- Bước 3: Giải tìm $x$ và đối chiếu với điều kiện ở Bước 1 để nhận/loại nghiệm.

⚡ Kiểu 3: Phương trình chứa nhiều dấu GTTĐ (Ví dụ: $|A| + |B| = C$)

- Bước 1: Tìm nghiệm của các biểu thức bên trong GTTĐ ($A=0, B=0$).

- Bước 2: Sắp xếp các nghiệm lên trục số để lập Bảng xét dấu, chia trục số thành các khoảng.

- Bước 3: Lần lượt xét trên từng khoảng, phá dấu GTTĐ tương ứng, giải phương trình và chỉ lấy nghiệm thuộc khoảng đang xét.

Ví dụ 2.1. Giải phương trình: \(||3x + 1| - 5| = 2\).

Lời giải

⚡Trường hợp 1:

\(|3x + 1| - 5 = 2\)

\(|3x + 1| = 7\)

+) Xét \(3x + 1 = 7\)

\(3x = 6\)

\(x = 2\)

+) Xét \(3x + 1 = -7\)

\(3x = -8\)

\(x = -\dfrac{8}{3}\)

⚡Trường hợp 2:

\(|3x + 1| - 5 = -2\)

\(|3x + 1| = 3\)

+) Xét \(3x + 1 = 3\)

\(3x = 2\)

\(x = \dfrac{2}{3}\)

+) Xét \(3x + 1 = -3\)

\(3x = -4\)

\(x = -\dfrac{4}{3}\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \Big\{ 2; -\dfrac{8}{3}; \dfrac{2}{3}; -\dfrac{4}{3} \Big\}\).

Ví dụ 2.2. Giải phương trình: $|x - 1| + |x - 3| = 4$.

Lời giải

Nghiệm của các biểu thức bên trong GTTĐ là $x = 1$ và $x = 3$. Lập bảng xét dấu, ta có 3 khoảng:

⚡Xét $x < 1$.

Phương trình trở thành: $-(x - 1) - (x - 3) = 4$

$-2x + 4 = 4 $

$x = 0$. (Nhận vì $x = 0 < 1$).

⚡Xét $1 \le x < 3$.

Phương trình trở thành: $(x - 1) - (x - 3) = 4$

$ \Leftrightarrow 2 = 4$ (Vô lý).

⚡Xét $x \ge 3$.

Phương trình trở thành: $(x - 1) + (x - 3) = 4$

$ 2x - 4 = 4$

$ x = 4$. (Nhận vì $x = 4 \ge 3$).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{0; 4\}$.