Phân tích đa thức thành nhân tử và Ứng dụng

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Các phương pháp cơ bản

+ Phương pháp đặt nhân tử chung: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác. Công thức: $AB + AC = A(B + C)$.

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

+ Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

+ Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Kết hợp linh hoạt các phương pháp trên để đưa đa thức về dạng tích cuối cùng không thể phân tích được nữa.

3. Các phương pháp nâng cao

+ Phương pháp tách một hạng tử: Thường dùng cho tam thức bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$.

+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Thêm và bớt cùng một lượng để tạo ra các hằng đẳng thức (thường là hiệu hai bình phương).

+ Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ): Đặt một đa thức phụ làm ẩn mới để đơn giản hóa bậc của đa thức ban đầu.

+ Phương pháp hệ số bất định: Dùng để phân tích các đa thức bậc cao hoặc đa thức đa ẩn.

+ Phương pháp nhẩm nghiệm (Sử dụng định lí Bézout và Sơ đồ Horner): Tìm một nghiệm $x = a$ của đa thức $f(x)$ sao cho $f(a) = 0$, khi đó đa thức chia hết cho $(x - a)$. Sử dụng lược đồ Horner với quy tắc "Đầu rơi, nhân tới, cộng chéo" để xác định nhanh các hệ số của đa thức thương nhằm hạ bậc đa thức bậc cao. Mẹo nhẩm nghiệm nhanh: Nghiệm nguyên luôn là ước của hệ số tự do; nếu tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có nghiệm $x = 1$; nếu tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có nghiệm $x = -1$.

+ Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức mở rộng ($a^n - b^n$ và $a^n + b^n$): Áp dụng công thức luỹ thừa tổng quát bậc cao để đưa về dạng tích nhanh chóng: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ (thỏa mãn với mọi số nguyên dương $n$) và $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ (chỉ áp dụng khi $n$ là số nguyên dương lẻ).

II. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Vận dụng các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp giải

Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta ưu tiên thực hiện theo thứ tự sau:

⚡ Bước 1: Kiểm tra xem có nhân tử chung hay không. Nếu có, hãy đặt nhân tử chung trước tiên.

⚡ Bước 2: Kiểm tra xem đa thức (hoặc một phần của đa thức) có dạng hằng đẳng thức hay không.

⚡ Bước 3: Nếu đa thức có từ 4 hạng tử trở lên, thử nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

⚡ Bước 4: Nếu các bước trên không khả thi, sử dụng các phương pháp nâng cao như tách, thêm bớt hạng tử, hoặc đổi biến số.

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $A = x^2 - 2xy + 5x - 10y$;

b) $B = 2x^2 - 3x + 1$.

Lời giải

a) Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử:

$A = (x^2 - 2xy) + (5x - 10y)$

$A = x(x - 2y) + 5(x - 2y)$

$A = (x - 2y)(x + 5)$

b) Sử dụng phương pháp tách một hạng tử:

$B = 2x^2 - 2x - x + 1$

$B = 2x(x - 1) - (x - 1)$

$B = (x - 1)(2x - 1)$

Ví dụ 2. Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích: $x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$.

Lời giải

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích vế trái thành nhân tử:

$(x^3 - x^2) - (4x - 4) = 0$

$x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0$

$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$

$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

$ x - 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = 2$ hoặc $x = -2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{1; 2; -2\}$.

Dạng 2. Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh chia hết

Phương pháp giải

Để chứng minh biểu thức $A(n)$ chia hết cho một số nguyên $k$, ta làm như sau:

⚡ Bước 1: Dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi $A(n)$ thành dạng tích các thừa số;

⚡ Bước 2: Chứng minh trong tích đó chứa một thừa số chia hết cho $k$, hoặc tích đó là tích của $m$ số nguyên liên tiếp (tích của $m$ số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho $m!$).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, biểu thức $P = n^3 - n$ luôn chia hết cho $6$.

Lời giải

Ta tiến hành phân tích biểu thức $P$ thành nhân tử:

$P = n(n^2 - 1)$

$P = n(n - 1)(n + 1)$

$P = (n - 1)n(n + 1)$

Ta thấy $(n - 1), n, (n + 1)$ là $3$ số nguyên liên tiếp.

Trong $3$ số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho $2$ và một số chia hết cho $3$.

Vì $(2, 3) = 1$, nên tích của chúng chia hết cho $2 \cdot 3 = 6$.

Vậy $P$ luôn chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n$.

Dạng 3. Ứng dụng phân tích đa thức vào bài toán số chính phương

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, đổi biến số để phân tích biểu thức đại số đề bài cho thành dạng $A^2$.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng biểu thức sau là một số chính phương với mọi số nguyên $x$: $M = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1$.

Lời giải

Nhóm các thừa số có tổng hệ số tự do bằng nhau:

$M = \Big[x(x + 3)\Big]\Big[(x + 1)(x + 2)\Big] + 1$

$M = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) + 1$

Đặt $t = x^2 + 3x$, biểu thức trở thành:

$M = t(t + 2) + 1$

$M = t^2 + 2t + 1$

$M = (t + 1)^2$

Thay $t = x^2 + 3x$ trở lại, ta được:

$M = (x^2 + 3x + 1)^2$

Vì $x$ là số nguyên nên $x^2 + 3x + 1$ cũng là số nguyên. Suy ra $M$ là bình phương của một số nguyên.

Vậy $M$ là một số chính phương.

Dạng 4. Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên

Phương pháp giải

Để giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ta thực hiện:

⚡ Bước 1: Chuyển tất cả các biến về một vế, hằng số về một vế.

⚡ Bước 2: Sử dụng các phương pháp phân tích (thêm bớt, nhóm hạng tử) để đưa vế chứa biến về dạng tích: $A(x, y) \cdot B(x, y) = k$ (với $k$ là một số nguyên).

⚡ Bước 3: Do $x, y$ nguyên nên $A, B$ phải là các ước nguyên của $k$. Lập bảng xét các trường hợp để tìm nghiệm.

Ví dụ 5. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn phương trình: $xy - 2x - 3y = -4$.

Lời giải

$xy - 2x - 3y = -4$

$xy - 2x - 3y + 6 = -4 + 6$

$(xy - 2x) - (3y - 6) = 2$

$x(y - 2) - 3(y - 2) = 2$

$(x - 3)(y - 2) = 2$

Vì $x, y \in \mathbb{Z}$ nên $(x - 3)$ và $(y - 2)$ là các số nguyên và là ước của $2$. Ta có các trường hợp sau:

⚡Trường hợp 1: $\begin{cases} x - 3 = 1 \\ y - 2 = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \end{cases}$

⚡Trường hợp 2: $\begin{cases} x - 3 = 2 \\ y - 2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases}$

⚡Trường hợp 3: $\begin{cases} x - 3 = -1 \\ y - 2 = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$

⚡Trường hợp 4: $\begin{cases} x - 3 = -2 \\ y - 2 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy các cặp nghiệm nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình là: $(4, 4); (5, 3); (2, 0); (1, 1)$.