Tính tổng dãy số tự nhiên và dãy số theo quy luật

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Dãy số cách đều (Dãy cộng)

+ Định nghĩa: Dãy cộng (dãy số cách đều) là dãy số mà trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) đều lớn hơn số hạng liền trước nó một số đơn vị không đổi. Đây là dãy số có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn giữ nguyên.

+ Tìm số số hạng: Đối với một dãy số tăng dần, số lượng số hạng được tính bằng công thức:

(Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1.

+ Tính tổng dãy số:

(Số đầu + Số cuối) $\cdot $ Số số hạng : 2.

+ Tìm số hạng thứ $n$:

Số đầu + (n - 1) $\cdot$ Khoảng cách.

2. Các dãy số viết theo quy luật khác

+ Phương pháp nhóm cặp: Nhóm hai số hạng thành một cặp sao cho giá trị trong mỗi cặp bằng nhau. Cần lưu ý nếu số lượng số hạng là số lẻ thì khi nhóm sẽ còn thừa một số hạng.

+ Phương pháp khử liên tiếp: Tách một số hạng thành một hiệu, trong đó số trừ của hiệu trước bằng số bị trừ của hiệu sau (ví dụ: $a_1 = b_1 - b_2$, $a_2 = b_2 - b_3$) để triệt tiêu các số hạng hàng loạt.

II. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Tính tổng các số hạng cách đều

Phương pháp giải

- Bước 1: Xác định khoảng cách của dãy và dùng công thức tính tổng số lượng số hạng.

- Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của dãy cách đều.

Ví dụ 1. Tính tổng các số tự nhiên có hai chữ số.

Lời giải

Các số tự nhiên có hai chữ số tạo thành dãy số: $10; \, 11; \, 12; \dots ; \, 99$.

Khoảng cách giữa $2$ số hạng liên tiếp là $1$.

Số số hạng của dãy là: $(99 - 10) : 1 + 1 = 90$ (số hạng).

Tổng của dãy là: $\dfrac{(10 + 99) \cdot 90}{2} = 4905$.

Ví dụ 2. Tính tổng của $21$ số lẻ liên tiếp đầu tiên.

Lời giải

$21$ số lẻ liên tiếp đầu tiên tạo thành dãy số cách đều có khoảng cách là $2$, bắt đầu từ số $1$.

Số hạng thứ $21$ của dãy là: $1 + (21 - 1) \cdot 2 = 41$.

Tổng của dãy là: $\dfrac{(1 + 41) \cdot 21}{2} = 441$.

Dạng 2. Tổng có dạng $S = 1 + a + a^2 + \dots$

Phương pháp giải

- Khi gặp biểu thức tổng có quy luật nhân lên liên tiếp (như $S = 1 + a + a^2 + \dots$), ta nhân hai vế của đẳng thức với chính cơ số $a$ đó.

- Sau đó, lấy phương trình mới trừ đi phương trình ban đầu theo vế để làm triệt tiêu các số hạng giống nhau.

Ví dụ 3. Tính tổng $A = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{100}$.

Lời giải

Nhân $2$ vào cả hai vế của biểu thức $A$, ta được: $2 \cdot A = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{101}$.

Lấy vế trừ vế: $2 \cdot A - A = (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{101}) - (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{100})$.

Các số hạng từ $2$ đến $2^{100}$ bị triệt tiêu, ta suy ra kết quả: $A = 2^{101} - 1$.

Ví dụ 4. Tính tổng $B = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{100}$.

Lời giải

Nhân $3$ vào cả hai vế của $B$, ta được: $3 \cdot B = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{101}$.

Lấy $3 \cdot B - B = 2 \cdot B = (3 + 3^2 + \dots + 3^{101}) - (1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{100})$.

Thu gọn ta được: $2 \cdot B = 3^{101} - 1$.

Suy ra $B = \frac{3^{101} - 1}{2}$.

Dạng 3. Tổng các cụm tích cách đều (Phương pháp khử liên tiếp)

Phương pháp giải

- Trong biểu thức tổng của các tích, ta xác định khoảng cách $d$ giữa hai thừa số ở mỗi cụm số hạng

- Nhân cả tổng với giá trị bằng $3$ lần khoảng cách đó ($3 \cdot d$). Sau đó, tách thừa số mới được nhân thêm thành hiệu của hai số để tạo ra các số đối nhau và rút gọn liên tiếp

Ví dụ 5. Tính tổng $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 99 \cdot 100$ [cite: 157].

Lời giải

Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là $1$

Nhân biểu thức $S$ với $3$ (gấp $3$ lần khoảng cách), ta có:

$3 \cdot S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + \dots + 99 \cdot 100 \cdot 3$

Tách số hạng $3$ thành hiệu để triệt tiêu: $3 \cdot S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot (4 - 1) + \dots + 99 \cdot 100 \cdot (101 - 98)$

Nhân phá ngoặc, các cụm số ở giữa tự triệt tiêu nhau, chỉ còn lại: $3 \cdot S = 99 \cdot 100 \cdot 101$

Suy ra: $S = 333\,300$

Ví dụ 6. Tính tổng $M = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + 97 \cdot 99$.

Lời giải

Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là $2$.

Nhân biểu thức $M$ với $6$ (gấp $3$ lần khoảng cách), ta có:

$6 \cdot M = 1 \cdot 3 \cdot 6 + 3 \cdot 5 \cdot 6 + \dots + 97 \cdot 99 \cdot 6$

Tách thừa số $6$ thành hiệu để triệt tiêu:

$6 \cdot M = 1 \cdot 3 \cdot (5 + 1) + 3 \cdot 5 \cdot (7 - 1) + \dots + 97 \cdot 99 \cdot (101 - 95)$

Nhân phá ngoặc, các cụm số ở giữa tự triệt tiêu nhau, ta thu được: $6 \cdot M = 97 \cdot 99 \cdot 101 + 3$

Suy ra: $M = 161\,651$

Dạng 4. Tổng các phân số viết theo quy luật

Phương pháp giải

- Phân tích các mẫu số và sử dụng công thức tách phân số cơ bản dạng: $\dfrac{k}{n \cdot (n+k)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+k}$

- Thay thế mỗi số hạng trong tổng thành một hiệu tương ứng, tạo thành một chuỗi liên tiếp các số đối nhau để chúng tự triệt tiêu, từ đó dễ dàng tính được tổng cuối cùng

Ví dụ 7. Tính tổng $N = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \dfrac{1}{99 \cdot 100}$

Lời giải

Khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu số là $1$. Áp dụng công thức tách phân số, ta có:

$N = \Big(1 - \dfrac{1}{2}\Big) + \Big(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\Big) + \dots + \Big(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100}\Big)$

Các phân số liền kề bị triệt tiêu, biểu thức còn lại: $N = 1 - \dfrac{1}{100}$

Suy ra kết quả: $N = \dfrac{99}{100}$.