Lũy thừa với số mũ tự nhiên

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khái niệm và các phép tính lũy thừa cơ bản

+ Lũy thừa bậc $n$ của số $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$: $a^n = a \cdot a \dots a$ ($n$ thừa số).

+ Quy ước: $1^n = 1$ và $a^0 = 1$ ($a \neq 0$).

+ Nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ và $a^m : a^n = a^{m-n}$ ($a \neq 0; m \ge n$).

+ Nhân, chia lũy thừa cùng số mũ: $a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$ và $a^m : b^m = (a : b)^m$ ($b \neq 0$).

+ Lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa tầng: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ và $a^{m^n} = a^{(m^n)}$.

2. Các quy tắc so sánh lũy thừa

+ Đưa về cùng cơ số: Nếu $a > 1$ thì $a^m > a^n \Leftrightarrow m > n$. Nếu $0 < a < 1$ thì $a^m > a^n \Leftrightarrow m < n$.

+ Đưa về cùng số mũ: Nếu $n > 0$ thì $a^n > b^n \Leftrightarrow a > b$.

+ Phương pháp phần bù và phân số: Nếu $m > n$ thì $k - \dfrac{a}{m} > k - \dfrac{a}{n}$. Đối với phân số $\dfrac{a}{b}$, nếu $\dfrac{a}{b} < 1$ thì $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+m}{b+m}$; nếu $\dfrac{a}{b} > 1$ thì $\dfrac{a}{b} > \dfrac{a+m}{b+m}$.

3. Quy luật tìm chữ số tận cùng

+ Tìm 1 chữ số tận cùng:

Các cơ số tận cùng là $0; \,1; \, 5; \, 6$ luôn giữ nguyên tận cùng khi nâng lên lũy thừa khác $0$.

Các cơ số tận cùng $3; \, 7; \, 9$ khi nâng lũy thừa bậc $4n$ có tận cùng là $1$.

Các số tận cùng $2; \, 4; \, 8$ khi nâng bậc $4n$ có tận cùng là $6$.

+ Tìm 2 chữ số tận cùng (tìm số dư chia 100):

Các số $...01^n; \, ...25^n; \, ...76^n$ có tận cùng không đổi.

Công thức tổng quát chu kì $20$: $a^{20k} \equiv 00$ (nếu $a$ chia hết $10$); $\equiv 01$ (nếu $a$ tận cùng $1; \, 3; \, 7; \, 9$); $\equiv 25$ (nếu $a$ tận cùng $5$); $\equiv 76$ (nếu $a$ tận cùng $2; \, 4; \, 6; \, 8$).

+ Tìm 3 chữ số tận cùng (tìm số dư chia 1 000):

Công thức tổng quát chu kì $100$: $a^{100k} \equiv 000$ (nếu $a$ chia hết $10$); $\equiv 001$ (nếu $a$ tận cùng $1; \, 3; \, 7; \, 9$); $\equiv 625$ (nếu $a$ tận cùng $5$); $\equiv 376$ (nếu $a$ tận cùng $2; \, 4; \, 6; \, 8$).

II. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP

Dạng 1. So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa

Phương pháp giải

Biến đổi hai lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

Nếu không thể biến đổi trực tiếp, ta so sánh thông qua lũy thừa trung gian $M$ ($A < M < B$) hoặc sử dụng tính chất cộng thêm cùng một lượng vào tử và mẫu của phân số nhỏ hơn $1$.

Ví dụ 1. Hãy so sánh hai biểu thức $2^{300}$ và $3^{200}$.

Lời giải

Ta biến đổi các lũy thừa về cùng số mũ chung lớn nhất là $100$.

Ta có: $2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$.

Tương tự: $3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$.

Vì cơ số $8 < 9$ nên $8^{100} < 9^{100}$, suy ra $2^{300} < 3^{200}$.

Dạng 2. Tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

Phương pháp giải

- Đưa về hai lũy thừa cùng cơ số để giải bài toán tìm số mũ: $a^x = a^y \Rightarrow x = y$.

- Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ để giải bài toán tìm cơ số: $x^n = y^n \Rightarrow x = y$.

- Nếu cho khoảng, dùng phương pháp đánh giá: $a^m < a^x < a^n \Rightarrow m < x < n$.

Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng: $25 < 5^n < 3125$.

Lời giải

Ta đưa các số về cùng lũy thừa cơ số 5: $25 = 5^2$ và $3125 = 5^5$.

Bất phương trình trở thành: $5^2 < 5^n < 5^5$.

Do cơ số $5 > 1$ nên ta suy ra: $2 < n < 5$.

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n$ nhận các giá trị $3$ hoặc $4$.

Dạng 3. Bài toán tìm chữ số tận cùng

Phương pháp giải

Dựa vào số lượng chữ số tận cùng cần tìm để xét chu kì của số mũ (chu kì $4$ đối với 1 chữ số, chu kì $20$ đối với 2 chữ số, chu kì $100$ đối với 3 chữ số).

Tách số mũ để làm xuất hiện các giá trị lũy thừa có tận cùng rơi vào trường hợp đặc biệt ($...1;\, ...6;\, ...25;\, ...76$).

Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của $7^{2\,008}$ và tìm hai chữ số tận cùng của $2^{200}$.

Lời giải

+ Tìm 1 chữ số tận cùng: Ta biết các số tận cùng là $7$ nâng lên lũy thừa bậc $4n$ luôn tận cùng là $1$.

Phân tích: $7^{2\,008} = (7^4)^{502}$.

Cơ số bên trong ngoặc có tận cùng là $1$, nên khi nâng lên bậc $502$ vẫn giữ nguyên tận cùng là $1$.

Vậy $7^{2\,008}$ tận cùng bằng $1$.

+ Tìm 2 chữ số tận cùng: Ta biết số chẵn mũ chu kì $20$ (cụ thể $a^{20k}$ với a chẵn khác tận cùng $0$) luôn tận cùng là $76$.

Phân tích $2^{200} = (2^{20})^{10} = 76^{10}$. Mà các số có hai chữ số tận cùng là $76$ nâng lên lũy thừa bất kì khác $0$ luôn giữ nguyên tận cùng là $76$.

Vậy $2^{200}$ có hai chữ số tận cùng là $76$.