Phân thức đại số nâng cao và Ứng dụng

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Điều kiện xác định và Tính chất cơ bản

+ Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi đa thức mẫu $B \neq 0$. Bắt buộc phải tìm ĐKXĐ trước khi biến đổi.

+ Tính chất cơ bản: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ và $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A : N}{B : N}$ (với $M \neq 0$, $N$ là nhân tử chung).

+ Quy tắc đổi dấu: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{-A}{-B} = -\dfrac{-A}{B}$.

2. Các hằng đẳng thức mở rộng và đánh giá hay dùng

+ $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$.

+ Nếu $a + b + c = 0$ thì $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

+ $A^2 \ge 0$ với mọi $A$, suy ra $A^2 + k \ge k$.

II. CÁC DẠNG BÀI ĐIỂN HÌNH

Dạng 1. Chứng minh đẳng thức chứa phân thức (Bài toán có điều kiện)

Phương pháp giải

⚡ Bước 1: Khai thác giả thiết. Từ các điều kiện đề bài cho (ví dụ: $a+b+c=0$, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0$, hoặc $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$), ta áp dụng các hằng đẳng thức mở rộng để suy ra những mối liên hệ đặc biệt (như $a^3+b^3+c^3 = 3abc$, hoặc $a=b=c$).

⚡ Bước 2: Biến đổi một vế. Biến đổi vế phức tạp (thường là Vế Trái) về vế đơn giản (Vế Phải). Kỹ thuật phổ biến là đặt ẩn phụ, nhân thêm một lượng vào tử/mẫu, hoặc phân tích thành nhân tử để triệt tiêu các biểu thức cồng kềnh.

Ví dụ 1. Cho các số thực $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{bc}{a^2} + \dfrac{ca}{b^2} + \dfrac{ab}{c^2} = 3$.

Lời giải

Đặt $x = \dfrac{1}{a}, y = \dfrac{1}{b}, z = \dfrac{1}{c}$. Theo giả thiết đề bài, ta có: $x + y + z = 0$.

Áp dụng hệ quả của hằng đẳng thức mở rộng: Nếu $x + y + z = 0$ thì ta luôn có $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.

Biến đổi vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng minh bằng cách nhân cả tử và mẫu của từng phân thức với $a, b, c$ tương ứng:

$VT = \dfrac{abc}{a^3} + \dfrac{abc}{b^3} + \dfrac{abc}{c^3}$

$VT = abc \Big( \dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3} + \dfrac{1}{c^3} \Big) = abc(x^3 + y^3 + z^3)$

Thay kết quả $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ vào biểu thức trên, ta được:

$VT = abc \cdot 3xyz = abc \cdot 3 \Big( \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{b} \cdot \dfrac{1}{c} \Big)$

$VT = 3 \cdot \dfrac{abc}{abc} = 3 = VP$ (đpcm).

Dạng 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức

Phương pháp giải

⚡ Cách 1: Đánh giá trực tiếp
Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức ở mẫu (hoặc tử) về dạng bình phương của một tổng/hiệu cộng với một hằng số. Dựa vào tính chất $A^2 \ge 0$, ta đánh giá được GTLN hoặc GTNN của phân thức.

⚡ Cách 2: Tìm điểm rơi và Xét hiệu
Bước 1: Dự đoán GTLN $M$ (hoặc GTNN $m$) và "điểm rơi" $x_0$ (giá trị của $x$ để biểu thức đạt GTLN, GTNN). Có thể dự đoán bằng cách thử các giá trị đặc biệt hoặc dùng máy tính cầm tay.

Bước 2: Để tìm GTLN, ta xét hiệu $M - A$. Để tìm GTNN, ta xét hiệu $A - m$.

Bước 3: Quy đồng và biến đổi hiệu số về dạng một biểu thức luôn không âm, thường là: $\dfrac{k(x - x_0)^2}{B(x)} \ge 0$.

Bước 4: Kết luận $A \le M$ hoặc $A \ge m$. Chỉ ra dấu "$=$" xảy ra khi $x = x_0$.

Ví dụ 2.1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = \dfrac{5}{x^2 - 4x + 9}$.

Lời giải

ĐKXĐ: $x\in \mathbb{R}$.

Ta có: $x^2 - 4x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x - 2)^2 + 5$.

Vì $(x - 2)^2 \ge 0$ với mọi giá trị của $x$, nên $(x - 2)^2 + 5 \ge 5$.

Phân thức $B$ có tử số là $5 > 0$ (không đổi). Do đó, $B$ đạt GTLN khi mẫu số đạt GTNN.

Suy ra $B \le \dfrac{5}{5} = 1$. Dấu "$=$" xảy ra khi $(x - 2)^2 = 0$ hay $x = 2$ (TM).

Vậy GTLN của $B$ là $1$ tại $x = 2$.

Ví dụ 2.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

Lời giải

ĐKXĐ: $x\in \mathbb{R}$.

Tìm Giá trị lớn nhất (GTLN):

Xét hiệu $\dfrac{1}{2} - A$, ta có:

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 1)}$

Vì $(x - 1)^2 \ge 0$ và $2(x^2 + 1) > 0$ với mọi $x$, nên $\dfrac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 1)} \ge 0$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} - A \ge 0 \Rightarrow  A \le \dfrac{1}{2}$.

Dấu "$=$" xảy ra khi $(x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. (TM)

Vậy GTLN của $A$ là $\dfrac{1}{2}$ khi $x = 1$.

Tìm Giá trị nhỏ nhất (GTNN):

Xét hiệu $A - \Big(-\dfrac{1}{2}\Big) = A + \dfrac{1}{2}$, ta có:

$\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x + x^2 + 1}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{(x + 1)^2}{2(x^2 + 1)}$

Vì $(x + 1)^2 \ge 0$ và $2(x^2 + 1) > 0$ với mọi $x$, nên $\dfrac{(x + 1)^2}{2(x^2 + 1)} \ge 0$

$ \Rightarrow A + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Rightarrow A \ge -\dfrac{1}{2}$.

Dấu "$=$" xảy ra khi $(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$. (TM)

Vậy GTNN của $A$ là $-\dfrac{1}{2}$ khi $x = -1$.

Dạng 3. Tính giá trị phân thức với điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Từ biểu thức điều kiện đề bài cho, ta tiến hành biến đổi (phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng hằng đẳng thức mở rộng, hoặc nhóm hạng tử) để biểu diễn biến này theo biến khác. Sau đó thế mối liên hệ vừa tìm được vào phân thức cần tính và rút gọn.

Ví dụ 3. Cho $3y - x = 6$. Tính giá trị của biểu thức $M = \dfrac{x}{y - 2} + \dfrac{2x - 3y}{x - 6}$.

Lời giải

ĐKXĐ: $x\ne 6$ và $y\ne 2$.

Từ giả thiết điều kiện $3y - x = 6$, ta suy ra các mối liên hệ:

⚡$x = 3y - 6 = 3(y - 2)$. Suy ra $\dfrac{x}{y - 2} = 3$.

⚡$3y = x + 6$. Thay vào cụm $2x - 3y$, ta được $2x - (x + 6) = x - 6$. Suy ra $\dfrac{2x - 3y}{x - 6} = \dfrac{x - 6}{x - 6} = 1$.

Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức $M$, ta có:

$M = 3 + 1 = 4$.

Vậy giá trị của biểu thức $M$ là $4$.

Dạng 4. Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp giải

⚡ Biến đổi biểu thức ban đầu về dạng $P(x) = Q(x) + \dfrac{k}{B(x)}$, trong đó $Q(x)$ là một đa thức (hoặc hằng số) và $k$ là một số nguyên. Để $P(x)$ nguyên thì $B(x)$ phải là Ước của $k$.

⚡ Các phương pháp biến đổi:

- Tách hạng tử: Áp dụng khi bậc tử bằng bậc mẫu hoặc đa thức đơn giản. Ta chủ động thêm bớt ở tử số để tạo ra các nhóm nhân tử giống y hệt đa thức mẫu.

- Chia đa thức: Áp dụng khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

- Nhân thêm hệ số: Áp dụng khi hệ số của bậc cao nhất ở tử KHÔNG chia hết cho hệ số tương ứng ở mẫu. Ta phải nhân cả biểu thức với một số nguyên thích hợp để tạo ra hệ số chia hết, sau đó mới dùng kỹ thuật tách hạng tử.

⚡Lập bảng giá trị các ước, giải tìm $x$, đối chiếu với ĐKXĐ và thử lại (nếu dùng kỹ thuật nhân hệ số).

Ví dụ 4.1. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A = \dfrac{x + 5}{x - 2}$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải

ĐKXĐ: $x \neq 2$.

$A = \dfrac{(x - 2) + 7}{x - 2} = 1 + \dfrac{7}{x - 2}$.

Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\dfrac{7}{x - 2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x - 2 \in Ư(7) = \{ 1; -1; 7; -7 \}$.

$x \in \{ 3; 1; 9; -5 \}$. Tất cả đều thỏa mãn ĐKXĐ.

Ví dụ 4.2. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $B = \dfrac{x^2 - 3x + 5}{x - 1}$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải

ĐKXĐ: $x \neq 1$.

$B = \dfrac{x(x - 1) - 2(x - 1) + 3}{x - 1} = x - 2 + \dfrac{3}{x - 1}$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x - 2 \in \mathbb{Z}$. Để $B$ nguyên thì $x - 1 \in Ư(3) = \{ 1; -1; 3; -3 \}$.

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy $x \in \{ -2; 0; 2; 4 \}$.

Ví dụ 4.3. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $C = \dfrac{x + 2}{2x - 1}$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải

ĐKXĐ: $x \neq \dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn vì $x \in \mathbb{Z}$).

Nhận thấy hệ số của $x$ ở tử là 1, không chia hết cho hệ số của $x$ ở mẫu là 2. Ta nhân cả hai vế của biểu thức với 2:

$2C = \dfrac{2(x + 2)}{2x - 1} = \dfrac{2x + 4}{2x - 1}$

$2C = \dfrac{(2x - 1) + 5}{2x - 1} = 1 + \dfrac{5}{2x - 1}$.

Để $C$ là số nguyên thì $2C$ cũng phải là số nguyên. Suy ra $2x - 1 \in Ư(5) = \{ 1; -1; 5; -5 \}$.

- Nếu $2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 1$. Thay $x = 1$ vào $C$ ban đầu: $C = \dfrac{1 + 2}{2(1) - 1} = 3 \in \mathbb{Z}$ (Chọn).

- Nếu $2x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0$. Thay $x = 0$ vào $C$ ban đầu: $C = \dfrac{0 + 2}{0 - 1} = -2 \in \mathbb{Z}$ (Chọn).

- Nếu $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$. Thay $x = 3$ vào $C$ ban đầu: $C = \dfrac{3 + 2}{2(3) - 1} = 1 \in \mathbb{Z}$ (Chọn).

- Nếu $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$. Thay $x = -2$ vào $C$ ban đầu: $C = \dfrac{-2 + 2}{-4 - 1} = 0 \in \mathbb{Z}$ (Chọn).

Vậy $x \in \{ -2; 0; 1; 3 \}$.