PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Định lý Bézout (Nhẩm nghiệm): Nếu phương trình $f(x)=0$ có tổng các hệ số bằng $0$ thì nó có nghiệm $x=1$. Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì nó có nghiệm $x=-1$.

2. Hằng đẳng thức mở rộng: $(A+B)^4 + (A-B)^4 = 2A^4 + 12A^2B^2 + 2B^4$.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Phương pháp nhẩm nghiệm và chia đa thức

Phương pháp giải:

Nhẩm nghiệm đặc biệt $x=a$. Dùng sơ đồ Horner hoặc phép chia đa thức để phân tích phương trình thành dạng $(x-a) \cdot g(x) = 0$. Tiếp tục giải $g(x) = 0$.

Ví dụ 1. Giải phương trình: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$.

Lời giải:

Nhận xét tổng các hệ số: $1 - 2 - 5 + 6 = 0$, do đó phương trình có một nghiệm $x = 1$. Sử dụng phép chia đa thức cho $(x - 1)$, ta có biến đổi:

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x - 1)(x^2 - x - 6) = 0$

$(x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0$

Từ đó ta tìm được các nghiệm $x = 1$, $x = 3$ hoặc $x = -2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \big\{-2; 1; 3\big\}$.

Dạng 2. Phương pháp đặt một ẩn phụ đối với phương trình bậc 4

⚡2.1. Phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0$

Đặt $x^2=t$ đưa về phương trình bậc $2$: $at^2+bt+c=0$.

⚡ 2.1. Phương trình dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k$ hoặc $kx^2$.

Nhóm 2 cặp có tổng hệ số ($a+d = b+c$) hoặc tích hệ số ($a \cdot d = b \cdot c$) bằng nhau.

⚡ 2.2. Phương trình dạng $(x+a)^4 + (x+b)^4 = c$.

Đặt ẩn phụ trung bình cộng $t = x + \dfrac{a+b}{2}$ để quy về phương trình trùng phương.

⚡ 2.3. Phương trình đối xứng, hồi quy ($ax^4 + bx^3 + cx^2 \pm bx + a = 0$).

Kiểm tra $x=0$, sau đó chia 2 vế cho $x^2 \neq 0$ và đặt $t = x \pm \dfrac{1}{x}$.

Ví dụ 2.1. Giải phương trình: $(x - 1)(x - 48)(x + 4)(x + 12) = -1\,050x^2$.

Lời giải:

Do $(-1) \cdot (-48) = 4 \cdot 12 = 48$, ta nhóm các nhân tử tương ứng:

$\big[(x - 1)(x - 48)\big] \cdot \big[(x + 4)(x + 12)\big] = -1\,050x^2$

$(x^2 - 49x + 48)(x^2 + 16x + 48) = -1050x^2$

Nhận thấy $x = 0$ không là nghiệm, ta chia cả 2 vế cho $x^2 \neq 0$:

$\big(x - 49 + \dfrac{48}{x}\big) \big(x + 16 + \dfrac{48}{x}\big) = -1\,050$

Đặt $t = x + \dfrac{48}{x}$, phương trình trở thành:

$(t - 49)(t + 16) = -1\,050$

$t^2 - 33t - 784 = -1\,050$

$t^2 - 33t + 266 = 0$

$(t - 14)(t - 19) = 0$

Từ đó ta có $t = 14$ hoặc $t = 19$.

⚡Với $t = 14$:

$x + \dfrac{48}{x} = 14$

$x^2 - 14x + 48 = 0$

$(x - 6)(x - 8) = 0$

$x = 6$ hoặc $x = 8$.

⚡Với $t = 19$:

$x + \dfrac{48}{x} = 19$

$x^2 - 19x + 48 = 0$

$(x - 3)(x - 16) = 0$

$x = 3$ hoặc $x = 16$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S =\{3; 6; 8; 16\}$.

Ví dụ 2.2. Giải phương trình: $(x - 1)^4 + (x - 3)^4 = 82$.

Lời giải:

Đặt $t = x + \dfrac{-1 - 3}{2}$, tức là $t = x - 2$. Khi đó $x = t + 2$. Thay vào phương trình ta được:

$(t + 1)^4 + (t - 1)^4 = 82$

$2t^4 + 12t^2 + 2 = 82$

$t^4 + 6t^2 - 40 = 0$

$(t^2 - 4)(t^2 + 10) = 0$

Do $t^2 + 10 > 0$ với mọi $t$, ta suy ra $t^2 = 4$

$t = 2$ hoặc $t = -2$.

⚡$t = 2$, ta có $x - 2 = 2$ hay $x = 4$.

⚡$t = -2$, ta có $x - 2 = -2$ hay $x = 0$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S =\{0; 4\}$.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ đối với phương trình phân thức và đẳng cấp

Phương pháp giải:

⚡ 3.1. Phương trình phân thức chứa biểu thức lặp lại:

Tìm ĐKXĐ, đặt trực tiếp biểu thức lặp lại làm ẩn $t$. Giải phương trình ẩn $t$ rồi thế ngược lại tìm $x$.

⚡ 3.2. Phương trình đưa về dạng đẳng cấp bậc hai:

Biến đổi về dạng $a \cdot u^2 + b \cdot uv + c \cdot v^2 = 0$. Phân tích thành nhân tử để tìm mối liên hệ $u = kv$.

Ví dụ 3.1. Giải phương trình: $\dfrac{1}{x^2 - 2x - 4} - \dfrac{1}{x^2 - 2x - 2} = \dfrac{1}{12}$.

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x^2 - 2x - 4 \neq 0$ và $x^2 - 2x - 2 \neq 0$.

Đặt $t = x^2 - 2x - 4$ (với $t \neq 0$ và $t \neq -2$). Phương trình đã cho trở thành:

$\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{t + 2} = \dfrac{1}{12}$

$\dfrac{t + 2 - t}{t(t + 2)} = \dfrac{1}{12}$

$\dfrac{2}{t^2 + 2t} = \dfrac{1}{12}$

$t^2 + 2t = 24$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

$(t - 4)(t + 6) = 0$

$t = 4$ hoặc $t = -6$

⚡Với $t = 4$:

$x^2 - 2x - 4 = 4$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4$ hoặc $x = -2$ (Thỏa mãn ĐKXĐ).

⚡Với $t = -6$:

$x^2 - 2x - 4 = -6$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

$(x - 1)^2 + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là $S =\{-2; 4\}$.

Ví dụ 3.2. Giải phương trình: $4(x^2 - x + 1)^2 - 11(x^3 + 1) + 7(x + 1)^2 = 0$.

Lời giải:

Đặt $u = x^2 - x + 1$ (với $u > 0$) và $v = x + 1$. Phương trình trở thành:

$4u^2 - 11uv + 7v^2 = 0$

$4u^2 - 4uv - 7uv + 7v^2 = 0$

$4u(u - v) - 7v(u - v) = 0$

$(u - v)(4u - 7v) = 0$

$u = v$ hoặc $4u = 7v$.

⚡Trường hợp 1: $u = v$

$x^2 - x + 1 = x + 1$

$x^2 - 2x = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 2$.

⚡Trường hợp 2: $4u = 7v$

$4(x^2 - x + 1) = 7(x + 1)$

$4x^2 - 11x - 3 = 0$

$(x - 3)(4x + 1) = 0$

$x = 3$ hoặc $x = -\dfrac{1}{4}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \big\{ -\dfrac{1}{4}; 0; 2; 3 \big\}$.