Phiếu bài tập tuần 19

Câu 1

1đ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

\int _{-5}^{5}\text{d}x=5.

B

\int _a^bf \left(x \right) \text{d}x= \int _a^bf \left(t\right)\text{d}t\Leftrightarrow x=t.

C

\int _a^b k \text{d} x = k(a-b), \forall k \in \mathbb{R}.

D

Nếu

f\left(x\right)

liên tục và không âm trên đoạn

\left[a;b\right]

thì

\int _a^bf\left(x\right)\text{d}x\ge 0

.

Câu 2

1đ

Cho tích phân $I=\int _0^{\frac{\pi }{2}}e^{\sin ^2x}\sin x\cos ^3x\text{d}x$ và $t=\sin ^2x.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

I=\frac{1}{2}\int _0^1e^t\left(1+t\right)\text{d}t.

I=2\int _0^1e^t\left(1-t\right)\text{d}t.

I=\frac{1}{2}\int _0^1e^t\left(1-t\right)\text{d}t.

I=2\int _0^1e^t\left(1+t\right)\text{d}t.

Câu 3

1đ

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (loại I).

Để tính tích phân $I=\int_a^bf\left(x\right)\text{d}x$ nếu $f\left(x\right)=g\left[u\left(x\right)\right].u'\left(x\right)$ , ta có thể thực hiện phép biến đổi như sau:

Bước 1: Đặt $t=u\left(x\right)\Rightarrow\text{d}t=u'\left(x\right)\text{d}x.$

Đổi cận $\begin{cases} x = a \Rightarrow t = u(a) \\ x = b \Rightarrow t = u(b) \end{cases} .$

Bước 2: Thay vào ta có: $I=\int_{u\left(a\right)}^{u\left(b\right)}g\left(t\right)\text{d}t=G\left(t\right) \Big|_{u\left(a\right)}^{u\left(b\right)}.$

Cho hàm số $f(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

\int_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\int_0^{2}f\left(2-x\right)\text{d}x.

\int_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=2\int_0^1f\left(x\right)\text{d}x.

\int_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\dfrac{1}{2}\int_{-2}^{2}f\left(x\right)\text{d}x.

\int_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=\int_0^{2}f\left(x-2\right)\text{d}x.

Câu 4

1đ

Biết rằng $I=\int_1^{e}\dfrac{\ln x}{x\left(\ln^2x+3\right)}\text{d}x=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{a}{b}$ , với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tổng $a+b$ bằng

6

.

3

.

7

.

4

.

Câu 5

1đ

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[2,4\right]$ .

Biết $f\left(2\right).g\left(2\right)=15$ , $f\left(4\right).g\left(4\right)=27$ và $\int_{2}^{4}g\left(x\right)f'\left(x\right)\text{d}x=28$ .

Đặt $I=\int_{2}^{4}f\left(x\right)g'\left(x\right)\text{d}x$ , khẳng định nào sau đây đúng?

I=-16

.

I=40

.

I=14

.

I=-15

.

Câu 6

1đ

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;3]$ và thỏa mãn $f(1)=6, f(3) = 10, \int _ {1} ^ {3} f(x) \text{d} x = 16$ .

Đặt $I=\int_1^{3}xf'\left(x\right)\text{d}x$ , khẳng định nào sau đây đúng?

I=40

.

I=7

.

I=20

.

I=8

.

Câu 7

1đ

Tích phân $I=\displaystyle \int \limits_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\left(1-\tan x\right)^{6}}{\cos ^2x}\text{d}x$ bằng

-\dfrac{1}{7}.

\dfrac{1}{6}

.

\dfrac{1}{7}.

-\dfrac{1}{6}

.

Câu 8

1đ

Tích phân $I=\displaystyle \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x\sin x\text{d}x$ bằng

-\pi - 1

.

-\pi + 1

.

\pi - 1

.

\pi + 1

.

Câu 9

1đ

Giả sử cần tích tích phân $I=\int_a^bf\left(x\right)\text{d}x$ , ta có thể thực hiện theo các bước sau (phép đổi biến số loại II):

Bước 1: Đặt $x=u\left(t\right)$ với $u\left(t\right)$ là hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[\alpha;\beta\right]$ , $f\left(u\left(t\right)\right)$ xác định trên $\left[\alpha;\beta\right]$ và $u(\alpha)=a,u(\beta)=b$ .

Bước 2: Ta có $I=\int_{\alpha}^{\beta}f\left[u\left(t\right)\right].u'\left(t\right)\text{d}t=\int_{\alpha}^{\beta}g\left(t\right)\text{d}t=G\left(t\right) \Big|_{\alpha}^{\beta}=G\left(\beta\right)-G\left(\alpha\right).$

Một số dạng thường dùng phép đổi biến số loại II

Dấu hiệu	Cách chọn
$\sqrt{a^2-x^2}$	$\left[{}\begin{matrix}x=\left\|a\right\|\sin t,\quad t\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\\x=\left\|a\right\|\cos t,\quad t\in\left[0;\pi\right]\end{matrix}\right.$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\left\|a\right\|}{\sin t},\quad t\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\backslash\left\{0\right\}\\x=\dfrac{\left\|a\right\|}{\cos t},\quad t\in\left[0;\pi\right]\backslash\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\end{matrix}\right.$
$a^2+x^2$	$x=\left\|a\right\|\tan t,\quad t\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$

Cho tích phân $I=\int_0^{1}\sqrt{1-x^2}\text{d}x$ và $x=1\sin t,\quad t\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right].$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

I=\dfrac{1}{2}\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}\left(1+\cos2t\right)\text{d}t.

I=\dfrac{1}{2}\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\left(1-\cos2t\right)\text{d}t.

I=\dfrac{1}{2}\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\left(1+\cos2t\right)\text{d}t.

I=\dfrac{1}{2}\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}\left(1-\cos2t\right)\text{d}t.

Câu 10

1đ

Cho tích phân $I=\int_{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}}\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}$ và $x=\dfrac{1}{\sin t}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

I = \dfrac{1}{2}\int _{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\left(1+\cos 2t\right)\text{d}t

I = \dfrac{1}{2}\int _{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\left(1-\cos 2t\right)\text{d}t.

I = \dfrac{1}{2}\int _{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\cos ^2 t\text{d}t.

I = \dfrac{1}{2}\int _{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\sin ^2 t\text{d}t.

Bài học liên quan

Phần 1

Báo lỗi

Tải đề xuống