Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+2},$ $\forall n \in \mathbb{N}^*$. Tổng $S=u_1^2+u_2^2+u_3^2+...+u_{1001}^2$ bằng

Người ta viết thêm $999$ số thực vào giữa số $1$ và số $2018$ để được cấp số cộng có $1001$ số hạng. Số hạng thứ $501$ là

Maguire đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành $42$ đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm $8$ đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Maguire cần mua có giá $400$ đô la. Vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=4$; $q=-4$. Ba số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát $u_n$ của cấp số đó lần lượt là

Xét các số thực dương $a$, $b$ sao cho $-25$, $2 a$, $3 b$ là cấp số cộng và $2$, $a+2$, $b-3$ là cấp số nhân. Khi đó $a^2+b^2-3 a b$ bằng

Bạn Đô thả quả bóng cao su từ độ cao $10$ m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn bằng

Cho cấp số cộng có $u_1=-3, \, d=4$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định $x$ để ba số: $1+2 x$; $2 x^2-1$; $-2 x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$: $1$; $x$; $x^2$; $x^3$;... (với $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 1$, $x \neq 0$). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$, biết $u_1=12$, $\dfrac{u_3}{u_8}=243$. Số hạng $u_9$ là

Cho cấp số nhân: $\dfrac{-1}{5}$; $a$; $\dfrac{-1}{125}$. Giá trị $a$ bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu là $u_1=-2017$ và công sai $d=3$. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương ?

Ba số phân biệt có tổng là $217$ có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ $2$, thứ $9$, thứ $44$ của một cấp số cộng. Phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng $820$?

Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích $S_1$. Nối bốn trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ theo thứ tự của bốn cạnh $A B$, $B C$, $C D$, $D A$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là $A_2 B_2 C_2 D_2$ có diện tích $S_3, ...$ và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích $S_4, S_5, ..., S_{100}$ (tham khảo hình vẽ).

Tổng $S=S_1+S_2+S_3+...+{S}_{100}$ bằng