Cho $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng biết $u_3+u_{13}=80$. Tổng $15$ số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng

Người ta viết thêm $999$ số thực vào giữa số $1$ và số $2018$ để được cấp số cộng có $1001$ số hạng. Số hạng thứ $501$ là

Cho tứ giác $A B C D$ biết bốn góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc $A$ bằng $30^{\circ}$. Số đo các góc còn lại là

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=3$; $q=\dfrac{-1}{2}$. Số $222$ là số hạng thứ mấy của $\left(u_n\right)$?

Giả sử $\dfrac{\sin \alpha}{6}$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Giá trị $\cos 2 \alpha$ bằng

Cho tam giác $A B C$ cân tại đỉnh $A$, biết độ dài cạnh đáy $B C$, đường cao $A H$ và cạnh bên $A B$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội $q$. Giá trị của $q^2$ bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_5=-15$; $u_{20}=60$. Số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là

Biết bốn số $5$; $x$; $15$; $y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3 x+2 y$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$: $1$; $x$; $x^2$; $x^3$;... (với $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 1$, $x \neq 0$). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_n=5^n-1$ với $n=1, \, 2,...$. Số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân đó là

Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình $x^3-m x^2-6 x-8=0$ có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân?

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với số hạng đầu là $u_1=-2017$ và công sai $d=3$. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương ?

Ba số phân biệt có tổng là $217$ có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ $2$, thứ $9$, thứ $44$ của một cấp số cộng. Phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng $820$?

Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích $S_1$. Nối bốn trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ theo thứ tự của bốn cạnh $A B$, $B C$, $C D$, $D A$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là $A_2 B_2 C_2 D_2$ có diện tích $S_3, ...$ và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích $S_4, S_5, ..., S_{100}$ (tham khảo hình vẽ).

Tổng $S=S_1+S_2+S_3+...+{S}_{100}$ bằng