Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+2},$ $\forall n \in \mathbb{N}^*$. Tổng $S=u_1^2+u_2^2+u_3^2+...+u_{1001}^2$ bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có: $u_1=-0,1$; $d=1$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Người ta trồng $3$ $003$ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng $1$ cây, hàng thứ hai trồng $2$ cây, hàng thứ ba trồng $3$ cây, ..., cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=3$; $q=\dfrac{-1}{2}$. Số $222$ là số hạng thứ mấy của $\left(u_n\right)$?

Cho ba số $x$, $5$, $3 y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và ba số $x$, $3$, $3 y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì $|3 y-x|$ bằng

Bạn Đô thả quả bóng cao su từ độ cao $10$ m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\dfrac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=-3$, $u_6=27$. Công sai của cấp số cộng là

Biết bốn số $5$; $x$; $15$; $y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3 x+2 y$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi: $\left\{\begin{aligned}&u_1=-2 \\ &u_{n+1}=\dfrac{-1}{10} . u_n\\ \end{aligned}\right.$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_n=5^n-1$ với $n=1, \, 2,...$. Số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân đó là

Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình $x^3-m x^2-6 x-8=0$ có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân?

Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=1$ và tổng $100$ số hạng đầu bằng $24850$. Giá trị $S=\dfrac{1}{u_1 u_2}+\dfrac{1}{u_2 u_3}+...+\dfrac{1}{u_{49} u_{50}}$ bằng

Ba số phân biệt có tổng là $217$ có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ $2$, thứ $9$, thứ $44$ của một cấp số cộng. Phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng $820$?

Cho hình vuông $A B C D$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích $S_1$. Nối bốn trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ theo thứ tự của bốn cạnh $A B$, $B C$, $C D$, $D A$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là $A_2 B_2 C_2 D_2$ có diện tích $S_3, ...$ và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích $S_4, S_5, ..., S_{100}$ (tham khảo hình vẽ).

Tổng $S=S_1+S_2+S_3+...+{S}_{100}$ bằng