Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (8 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $3 x-4=5+x$.
b) $3(x-1)-7=5(x+2)$.
Hướng dẫn giải
a. Ta có: $3 x-4=5+x$
$3 x-x=5+4$
$2 x=9$
$x=\dfrac{9}{2}$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\dfrac{9}{2}$.
b. Ta có: $3(x-1)-7=5(x+2)$
$3 x-3-7=5 x+10$
$5 x-3 x=-3-7-10$
$2 x=-20$
$x=-10$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=-10$.
Bài 2. (1,5 điểm) Một ca nô đi xuôi khúc sông từ $A$ đến $B$ hết $1$ giờ $30$ phút và đi ngược từ $B$ về $A$ hết $2$ giờ. Biết vận tốc dòng nước là $3$ km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô và chiều dài quãng sông $AB$?
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h, $x>3$).
Vận tốc ca nô khi đi xuôi khúc sông từ $A$ đến $B$ là: $x+3$ (km/h);
Vận tốc ca nô khi đi ngược khúc sông từ $B$ về $A$ là: $x-3$ (km/h);
Khúc sông $A B$ có chiều dài không đổi nên ta có phương trình: $\dfrac{3}{2}(x+3)=2(x-3)$.
Giải phương trình trên ta nhận được $x=21$ (thỏa mãn)
Do đó vận tốc riêng của ca nô là $21$ km/h.
Chiều dài khúc sông là: $2(21-3)=36$ (km).
Vậy vận tốc riêng của cano là $21$ km/h, chiều dài khúc sông là $36$ km .
Bài 3. (1,0 điểm) Trong một hộp có $20$ thẻ gồm $4$ thẻ được đánh số 1, $4$ thẻ được đánh số 2, $6$ thẻ được đánh số 3, $3$ thẻ được đánh số 4 và $3$ thẻ được đánh số 5. Tính xác suất cho biến cố “Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3”.
Hướng dẫn giải
Xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" là: $\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$.
Bài 4. (2,5 điểm) Cho $\Delta { A B C}$ nhọn, đường cao $A H$. Kẻ $H E \perp {A B} \, (E \in A B), \, H F \perp {A C} \, (F \in A C)$.
a) Chứng minh $\Delta { A E H} \backsim \Delta { A H B}$ từ đó suy ra $A H^2=A E . A B$
b) Chứng minh $A E . A B=A F . A C$
c) Cho chu vi các $\Delta { A E F}$ và $\Delta { A C B}$ lần lượt là $20$ cm và $30$ cm. Tính diện tích $\Delta { A E F}$ và $\Delta { A C B}$ biết diện tích $\Delta { A C B}$ lớn hơn diện tích $\Delta { A E F}$ là $25$ cm$^2$.
Hướng dẫn giải
a) Xét $\Delta { A E H}$ và $\Delta { A H B}$ có:
$\widehat{BAH}$ chung và $\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^{\circ}$
Do đó $\Delta {AEH} \backsim \Delta {AHB}$ (g.g)
Suy ra $ \dfrac{A H}{A B}=\dfrac{A E}{A H} $ hay $A H^2=A E .A B$ (1)
b) Chứng minh tương tự $\Delta {AHF} \backsim \Delta {ACH}$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{A H}{A C}=\dfrac{A F}{A H}$ hay $A H^2=A F . A C$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $A E . A B=A F . A C$
c) Ta có $A E . A B=A F . A C$ nên $\dfrac{A E}{A C}=\dfrac{A F}{A B}$.
Xét $\Delta { A E F}$ và $\Delta { A C B}$ có:
$\widehat{E A F}$ chung
$\dfrac{A E}{A C}=\dfrac{A F}{A B}$ (cmt)
Do đó $\Delta { A E F} \backsim \Delta { A C B} $ (c.g.c).
Suy ra $\dfrac{E F}{C B}=\dfrac{P_{A E F}}{P_{A C B}}=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$ (tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $ \dfrac{S_{A E F}}{4}=\dfrac{S_{A C B}}{9}=\dfrac{S_{A C B}-S_{A E F}}{9-4}=\dfrac{25}{5}=5$
Suy ra
$S_{A E F}=5.4=20$ cm$^2$;
$S_{A C B}=5.9=45$ cm$^2$.
Vậy $S_{A E F}=20$ cm$^2$ và $S_{A C B}=45$ cm$^2$.
Bài 5. (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$, đường phân giác của góc $AMB$ cắt $AB$ tại $D$. Cho $BC=30$ cm; $A D=6$ cm; $A B=10$ cm. Tính độ dài $A M$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $A B=A D+D B$
Suy ra $D B=A B-A D=10-6=4$ cm
${AM}$ là trung tuyến của $\Delta A B C$ suy ra $M$ là trung điểm của ${BC}$
Suy ra $BM=C M=\dfrac{1}{2} B C=15$ cm.
Xét $\Delta A B M$ có $M D$ là phân giác của góc $A M B$ nên
$\dfrac{A M}{B M}=\dfrac{A D}{D B}$
$\dfrac{A M}{B M}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} $
Do đó $A M=\dfrac{3}{2} .B M=\dfrac{3}{2} .15=22,5$ (cm).
Bài 6. (0,5 điểm) Một hình lập phương lớn cạnh $4$ được ghép lại từ $64$ hình lập phương nhỏ cạnh $1$. Người ta sơn tất cả sáu mặt của hình lập phương lớn. Tính số hình lập phương nhỏ cạnh $1$ mà:
a) có đúng một mặt được sơn;
b) có đúng hai mặt được sơn.
Hướng dẫn giải
a) Ở mỗi mặt, có $4$ hình lập phương nhỏ được sơn một mặt (các hình được gạch sọc).
Ở sáu mặt có: $4.6 = 24$ (hình).
b) Ở mỗi cạnh, có $2$ hình lập phương được sơn hai mặt (các hình ghi dấu "$x$").
Ở $12$ cạnh có : $2.12=24$ (hình).