Phần tự luận (8 điểm)

a) $2 x=7+x$

$2x - x = 7$

$x = 7$.

Phương trình đã cho có nghiệm $x = 7$.

b) $\dfrac{x-3}{5}+\dfrac{1+2 x}{3}=6$

$\dfrac{3(x-3)}{15}+\dfrac{5.(1+2x)}{15}=6$

$3x - 9 + 5 + 10x = 90$

$13x = 94$

$x =\dfrac{94}{13}$.

Phương trình đã cho có nghiệm $x = \dfrac{94}{13}$.

1)

a) Xét đường thẳng: $\left(d_1\right): \, y=-3 x$.

Nếu $x=0$ thì $y=0$ suy ra $\left(d_1\right)$ đi qua điểm có tọa độ $(0 ; 0)$

Nếu $x=1$ thì $y=-3$ suy ra $\left(d_1\right)$ đi qua điểm có tọa độ $(1 ;-3)$

Ta vẽ đồ thị:

b) Vì $\left(d_3\right): \, y=a x+b$ song song với $\left(d_2\right): \, y=x+2$ nên $a=1, \, b \neq 2$.

Khi đó đường thẳng $\left(d_3\right)$ có dạng $y=x+b$ với $b \neq 2$.

Vì $\left(d_3\right)$ đi qua điểm có tọa độ $A(-1 ; 3)$ nên: $3=-1+b$ hay $b=3+1=4$ (thỏa mãn).

Vậy đường thẳng $\left(d_3\right)$ là $\left(d_3\right): y=-x+4$.

2) Gọi số sản phẩm mà tổ I làm được theo kế hoạch là $x$.

Điều kiện: $x \in \mathbb{N}^*$; $x < 900$, đơn vị: sản phẩm.

Số sản phẩm mà tổ II làm được theo kế hoạch là: $900-x$ (sản phẩm).

Theo bài ra, do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức $20\%$ và tổ hai vượt mức $15\%$ so với kế hoạch.

Số sản phẩm mà tổ I làm được theo thực tế là: $x+x . 20 \%=x+0,2 x=1,2 x$ (sản phẩm);

Số sản phẩm mà tổ II làm được theo thực tế là: $900-x+(900-x) .15 \%=1 \, 035-1,15 x$ (sản phẩm).

Vì thực tế hai tổ đã sản xuất được $1 \, 055$ sản phẩm nên ta có phương trình: $1,2 x+1 \, 035-1,15 x=1 \, 055$

Giải phương trình tìm được $x=400$ (sản phẩm)

Khi đó, số sản phẩm mà tổ II làm được theo kế hoạch là: $900-400=500$ (sản phẩm).

Vậy theo kế hoạch tổ I làm được $400$ sản phẩm, tổ II làm được $500$ sản phẩm.

Có $19$ kết quả cho hành động trên.

Có $8$ kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho nên xác suất cho biến cố là: $\dfrac{8}{19}$.

a) Vì tam giác $K B C$ vuông tại $K$ suy ra $\widehat{K B H}=90^{\circ}$

Vì ${CI} \perp {BI}$ (gt) suy ra $\widehat{{ClH}}=90^{\circ}$

Xét $\triangle K B H$ và $\triangle C H I$ có:

$\widehat{{KBH}}=\widehat{{CIH}}=90^{\circ}$;

$\widehat{{BHK}}=\widehat{{CHI}}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\Delta {BHK} \backsim \Delta {CHI}$ (g.g)

b) Ta có $\Delta {BHK} \backsim \Delta {CHI}$ suy ra $\widehat{{HBK}}=\widehat{{HCI}}$ (hai góc tương ứng) 

Mà ${BH}$ là tia phân giác của $\widehat{{ABC}}$ nên $\widehat{{HBK}}=\widehat{{HBC}}$.

Do đó $\widehat{{HBC}}=\widehat{{HCI}}$.

Xét $\triangle {CIB}$ và $\triangle {HIC}$ có:

$\widehat{{CIB}}$ chung;

$\widehat{{IBC}}=\widehat{{HCI}}$ (cmt)

Vậy $\Delta {CIB} \approx \Delta {HIC}$ (g.g) suy ra $\dfrac{{CI}}{{HI}}=\dfrac{{IB}}{{IC}}$

Hay ${CI}^2={HI} . {IB}$

c) Xét $\triangle {ABC}$ có ${BI} \perp {AC}$; ${CK} \perp {AB}$; ${BI} \cap {CK}=\{{H}\}$

Nên $H$ là trực tâm $\triangle A B C$ suy ra $A H \perp B C$ tại $D$.

Từ đó ta có $\triangle B K C \backsim \triangle H D C$ (g.g) nên $\dfrac{C B}{C H}=\dfrac{C K}{C D} $

Suy ra $\dfrac{C B}{C K}=\dfrac{C H}{C D}$ nên $\triangle {BHC} \backsim \triangle {KDC}$ (c.g.c)

Khi đó $\widehat{{HBC}}=\widehat{{DKC}}$ (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự $\widehat{{HAC}}=\widehat{{IKC}}$

Mà $\widehat{{HAC}}=\widehat{{HBC}}$ (cùng phụ $\widehat{{ACB}}$ )

Suy ra $ \widehat{{DKC}}=\widehat{{IKC}}$.

Vậy $K C$ là tia phân giác của $\widehat{I K D}$.

Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là:

     $30:2=15$ (m).

Thể tích của lồng đèn quả trám là:

     $V=2.\Big( \dfrac{1}{3}.20.20.15 \Big)=4 \, 000$ (cm$^3$).

Xét $\Delta ABC$ có $AB=10$ cm, $AC=17$ cm, $BC=21$ cm.

Gọi $AH$ là đường cao của tam giác.

Vì $BC$ là cạnh lớn nhất của tam giác nên $\widehat{{B}}, \widehat{{C}} < 90^{\circ}$, do đó ${H}$ nằm giữa ${B}$ và ${C}$.

Đặt ${HC}={x}, \, {HB}={y}$, ta có : $x+y=21$ (1)

Mặt khác ${AH}^2=10^2-{y}^2, \, {AH}^2=17^2-{x}^2$ nên $x^2-y^2=17^2-10^2=289-100=189$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${x}+{y}=21$, ${x}-{y}=9$.

Do đó ${x}=15$, ${y}=6$.

Ta có ${AH}^2=10^2-6^2=64$ nên ${AH}=8$.

Vậy ${S}_{{ABC}}=\dfrac{21.8}{2}=84$ (cm$^2$).