Phần tự luận (7 điểm)

1. Ta có:

$A=\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3\sqrt{18} + \sqrt{72}$

$= 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3(3\sqrt{2}) + 6\sqrt{2}$

$=-\sqrt{5} + 15\sqrt{2}$.

2 .Với $x\ge 0;\,x\ne 4;\,x\ne 9$ ta có

a) $A=\Big[ \dfrac{3\sqrt{x}-7}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)}-\dfrac{3(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-3} \Big]:\dfrac{\sqrt{x}+2}{{{(\sqrt{x}+2)}^2}}$

$=\Big[ \dfrac{3\sqrt{x}-7}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)}-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-3} \Big]:\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{3\sqrt{x}-7-3(\sqrt{x}-3)+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)}:\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)}.(\sqrt{x}+2)$

$=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}$.

b) $A<1$

$\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}<1$

$\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}-1<0$

$\dfrac{7}{\sqrt{x}-3}<0$

$\sqrt{x}-3<0$

$\sqrt{x}<3$

$x<9$ mà $x\ge 0;\,x\ne 4;\,x\ne 9$

Suy ra $ 0\le x<9$ và $x\ne 4$

Vậy với $0\le x<9$ và $x\ne 4$ thì $A < 1$.

Gọi số vé bán ra của vé loại I và vé loại II lần lượt là $ x, y$ (vé) $(0 < x < 500, 0 < y < 500)$.

Theo bài, ban tổ chức đã bán được $500$ vé cả hai loại vé nên ta có phương trình: $x + y = 500$.

Số tiền thu được khi bán ra $x$ vé loại I là $100\,000x$ (đồng).

Số tiền thu được khi bán ra $y$ vé loại II là $75\,000y$ (đồng).

Theo bài, tổng số tiền thu được từ bán vé là $44\,500\,000$ đồng nên ta có phương trình:

$100\,000x + 75\,000y = 44\,500\,000$ hay $4x+3y=1\,780$.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{aligned}   x+y=500  \\  4x+3y=1\,780 \end{aligned} \right.\,(1)$

Giải hệ phương trình $(1)$ ta được $x = 280; y = 220$

Vậy vé loại I bán ra được $280$ vé; vé loại II bán ra được $220$ vé.

a) Xét tam giác $ABC$ có $OC = OA = OB = \dfrac12 AB $

Suy ra $\Delta ABC$ vuông tại $C$ (Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, $\widehat{ACB} = 90^\circ$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ C $, ta có:

$AB^2 = AC^2 + BC^2.$

Do đó: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = (2R)^2 - R^2 = 3R^2.$

Mà $BC > 0$, nên:

$BC = R\sqrt{3}.$

b) Trong tam giác $ OAC $, có $OA = OC = R$.

Suy ra tam giác $ OAC $ là tam giác cân tại $ O $.

Vì $I$ là trung điểm của dây $AC$ nên $ OI $ là đường trung tuyến của tam giác $ OAC $.

Suy ra $ OI $ cũng là đường phân giác của góc $ COA $.

Vậy $OM$ là tia phân giác của góc $COA$.

c) Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCM$, có:

+ $OA = OC = R$,

+ $\widehat{AOM} = \widehat{COM}$ (vì $ OM $ là phân giác góc $\widehat{COA}$),

+ Cạnh chung $ OM $.

Suy ra $\Delta OAM = \Delta OCM$ (c-g-c).

Nên: $\widehat{OAM} = \widehat{OCM}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OAM} = 90^\circ$ (do $AM$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O; R)$).

Nên $\widehat{OCM} = 90^\circ.$

Do đó: $MC \perp OC$ tại $C.$

Vậy $MC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$.

Đổi $18$ dặm $=28,8$ km; $28$ dặm $=44,8$ km.

a) Diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng là 

$\dfrac{\pi .28,8^2 . 245}{360} \approx1\,722,5$ (km$^2$)

b) Khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến ngọn hải đăng là khoảng cách từ tâm đến dây cung và bằng $\sqrt{18^2-\Big(\dfrac{28}{2}\Big)^2}=\sqrt{128}\approx 11,3$ (dặm).

Điều kiện: $x \ge 2 ,\, y \ge – 2\,024, \, z \ge 2\,025$

Đặt $\sqrt{x-2} = a$; $\sqrt{y+2\,024} = b$; $\sqrt{z-2\,025} = c$  ($a,\,b,\,c$ không âm)

Ta có $x= a^2+2; \,y = b^2-2\,024; \,z = c^2 + 2\,025$

Suy ra $x+y+z = a^2 + b^2 + c^2 + 3 \, \, (1)$

Kết hợp $(1)$ với giả thiết ta có $2(a+b+c) = a^2 + b^2 + c^2 + 3 $

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2  = 0$

Suy ra $a=b=c=1$.

Do đó $x = 3 ; y =-2\,023 ; z = 2\,026$.