Phần tự luận (7 điểm)

a) Gọi số tuổi của bạn An là $x$ (tuổi), $x \in \mathbb{N}^*$.

Bất đẳng thức để mô tả bạn An ít nhất $18$ tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội là: $x\ge 18$.

b) Gọi khối lượng thang máy chở được là $a$ kg, $a>0$.

Bất đẳng thức để mô tả một thang máy chở được tối đa $700$ kg là: $0<a \le 700$.

c) Gọi số tiền mua hàng là $x$ (triệu đồng), $x>0$.

Bất đẳng thức để mô tả bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất $1$ triệu đồng mới được giảm giá là $x \ge 1$.

d) $2x-3>-7x+2$.

a) Để giải phương trình đã cho ta giải hai phương trình sau:

(1) $3x-2=0$

$3x=2$

$x=\dfrac{2}{3}$

(2) $2x+1=0$

$2x=-1$

$x=\dfrac{-1}{2} $.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\dfrac{2}{3}$ và $x=\dfrac{-1}{2}$.

b) $ \left\{ \begin{aligned} & 2x-y=4 \\ & x+2y=-3 \\ \end{aligned} \right. $

$\left\{ \begin{aligned} & 4x-2y=8 \\ & x+2y=-3 \\ \end{aligned} \right. $

$\left\{ \begin{aligned} & 5x=5 \\ & x+2y=-3 \\ \end{aligned} \right. $

$\left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & 1+2y=-3 \\ \end{aligned} \right.$ 

$\left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & 2y=-4 \\ \end{aligned} \right. $

$\left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=-2 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( 1;-2 \right)$

Gọi $x$, $y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương ($x, \, y>0$)

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là $800$ triệu đồng nên ta có phương trình $x+y=800$ (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là $6\%$/năm và khoản đầu tư thứ hai là $8\%$/năm, nên ta có phương trình

$0,06.x+0,08.y=54$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x+y=800 \\ & 0,06.x+0,08.y=54 \\ \end{aligned} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{aligned} & x=500 \\ & y=300 \\ \end{aligned} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là $500$ triệu đồng và $300$ triệu đồng.

a) $\Delta CEF \backsim \Delta CBA$ (g-g) suy ra  $\dfrac{CF}{CE}=\dfrac{AC}{BC}$ nên

$\Delta CFA \backsim \Delta CEB$ (c-g-c) suy ra $\dfrac{AF}{BE}=\dfrac{AC}{BC}$ hay $\dfrac{AF}{BE}=\cos C$.

Vậy $AF = BE.\cos C$.

b) Vì $\Delta ABC$ có $\widehat{A}=90^\circ$ nên  $AB = \sin C. BC = 0,6.10 = 6$ cm.

Suy ra $AC=8$ cm nên $AE = EC = 4$ cm.

Mà $EF = \sin C. EC = 0,6. 4 = 2,4$ cm.

Suy ra $FC=3,2$ cm (Định lí Pythagore)

$S_{ABFE} = S_{ABC} - S_{CFE} = \dfrac{1}{2}. \left( AB. AC-EF. FC \right)=\dfrac{1}{2}\left( 6\cdot 8-2,4\cdot 3,2 \right)= 20,16$ (cm$^2$).

Vẽ $AK \bot BC$ tại K, $AH \bot DC$ tại $H$.

Khi đó tứ giác $AKCH$ là hình chữ nhật nên $AK=CH$; $AH=CK$

Trong tam giác vuông $AKB$ vuông tại $K$ có $AB=10$ cm, $\widehat{ABK}=70^\circ$ 

$AK=AB. \sin 70^\circ=10. \sin 70^\circ$ suy ra $AK=CH=10. \sin 70^\circ$

hay $DH=CD-HC=15-10. \sin 70^\circ$

$BK=AB. \cos 70^\circ=10. \cos 70^\circ$

Suy ra $CK=CB-BK=13-10. \cos 70^\circ$

hay $AH=CK=13-10. \cos 70^\circ$

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông $ADH$:

$AD=\sqrt{AH^2+DH^2}=\sqrt{(13-10.\cos70^\circ)^2+(15-10. \sin70^\circ )^2} \approx 11,1$ m.