Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1. Cho 2 biểu thức: $P=\dfrac{x+7}{3 \sqrt{x}}$ và $Q=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{7 \sqrt{x}+3}{9-x}$
(với $x>0 ; x \neq 9$ )
a) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x=4$.
b) Chứng minh $Q=\dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=P . Q$.
Hướng dẫn giải
a) Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x=4$.
Thay $x=4$ (thỏa mãn điêu kiện) vào biêuu thức $P$ ta có:
$P=\dfrac{4+7}{3 \sqrt{4}}=\dfrac{11}{3.2}=\dfrac{11}{6} .$
b) $Q=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{7 \sqrt{x}+3}{9-x}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{7 \sqrt{x}+3}{x-9}$
$=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}+\dfrac{2 \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}+\dfrac{7 \sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$=\dfrac{x+3 \sqrt{x}+\sqrt{x}+3+2 x-6 \sqrt{x}-7 \sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$=\dfrac{3 x-9 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\dfrac{3 \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$
c) Với $x>0 ; x \neq 9$, ta có
$A=P \cdot Q=\dfrac{x+7}{3 \sqrt{x}} \cdot \dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3}=(\sqrt{x}+3)+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}-6$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm ta có:
$(\sqrt{x}+3)+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3} \geq 8 \Rightarrow(\sqrt{x}+3)+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}-6 \geq 2$
$\Rightarrow A \min =2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$\sqrt{x}+3=\dfrac{16}{\sqrt{x}+3} \Leftrightarrow x=1 $ (TMĐK)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=2$ tại $x=1$.
Bài 2. Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 1100 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức $18 \%$ và tổ II đã vượt mức $15 \%$. Vì vậy trong thời gian quy định, họ đã hoàn thành vượt mức 180 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ được giao theo kế hoạch.
Hướng dẫn giải
Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $({P}): y=x^2$ và đường thẳng $({d})$ : $y=3 x-2$. Biết $({d})$ cắt $({P})$ tại hai điểm $A, B$.
a) Xác định tọa độ hai điểm $A$ và $B$.
b) Tính diện tích tam giác $O A B$.
Hướng dẫn giải
a) Xác định toạ độ hai điểm $A$ và $B$.
$(P): y=x^2 ;(d): y=3 x-2(d) \cap(P)=\{A, B\}$
Phương trình hoành độ của $({d})$ và $({P})$ là:
$x^2=3 x-2 \Leftrightarrow x^2-3 x+2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} x=2 \\ x=1\end{aligned}\right.$
Không mất tính tổng quát ta giả sử: $x_A=2 ; x_B=1 \Rightarrow y_A=4 ; y_B=1$ Vậy ${A}(2 ; 4) ; B(1 ; 1)$.
b) Tính diện tích tam giác $O A B$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $A$ trên trục $O x$.
$\Rightarrow H(1 ; 0) ; K(2 ; 0) \Rightarrow H K=\left|x_{{K}}-x_{{H}}\right|=1(d v d d)$
$S_{O A K}=\dfrac{1}{2} O K \cdot K A=\dfrac{1}{2}\left|x_K\right| \cdot\left|y_A\right|=\dfrac{1}{2} 2 \cdot 4=4(d v d t)$
$S_{O H B}=\dfrac{1}{2} O H \cdot H A=\dfrac{1}{2}\left|x_H\right| \cdot\left|y_B\right|=\dfrac{1}{2} 1 \cdot 1=\dfrac{1}{2}(d v d t)$
$S_{B H K A}=\dfrac{1}{2}(B H+K A) \cdot H K=\dfrac{1}{2}(1+4) \cdot 1=\dfrac{5}{2}(d v d t)$
$S_{O A B}=S_{O A K}-S_{O H B}-S_{B H K A}=4-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}=1(d v d t)$
Bài 4. Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $A B=2 R$. Gọi $A x$ là tia tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn $(O)$. Trên tia $A x$ lấy điểm $M$ bất kì $(M \neq A), M B$ cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là $K$. Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $M O$ tại $I$.
a) Chứng minh: Tứ giác $A I K M$ nội tiếp.
b) Chứng minh $\widehat{M I K}=\widehat{K B A}$ từ đó chứng minh 4 điểm $K, I, O, B$ nằm trên cùng một đường tròn.
c) Kéo dài $A I$ cắt nửa đường tròn tại $C(C \neq A)$. Kè $C H$ vuông góc với $A B$ tại $H$. Tìm vị trí điểm $M$ trên tia $A x$ để $\Delta I C H$ đều.
Hướng dẫn giải
a) Xét $(O)$ có $\widehat{A K B}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{A K M}=90^{\circ}$
Có $\widehat{A I M}=90^{\circ}(\mathrm{AI} \perp M O)$
Xét tứ giác $AIKM$ có:
$\widehat{A K M}=\widehat{A I M}=90^{\circ}$
Mà $K$ và $I$ là hai đỉnh kề nhau
$\Rightarrow A I K M$ là tứ giác nội tiếp.
b) - Vì tứ giác $A I K M$ nội tiếp nên $\widehat{M I K}=\widehat{M A K}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).
- Cm: $\widehat{M A K}=\widehat{A B K}$
$\Rightarrow \widehat{M I K}=\widehat{A B K}$.
- Cm tứ giác $K I O B$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối) $\Rightarrow K, I, O, B$ cùng thuộc một đường tròn.
c) - Cm $H$ là trung điểm của $A C$.
$\Rightarrow I H=I C$ (theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
$\Rightarrow \triangle I C H$ cân.
- Để $\triangle \mathrm{ICH}$ cân trở thành $\triangle I C H$ đều thì $\widehat{I C H}=60^{\circ} \Rightarrow \widehat{M A C}=60^{\circ}$
- Tính được độ dài $A C=R \sqrt{3}$.
- Cm $M A=A C \Rightarrow$ Tìm được vị trí điểm $M$ trên tia $A x$ sao cho $A M=R \sqrt{3}$.