Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
(1,5 điểm)
Một hộp bút màu có 7 màu: xanh, đỏ, vàng, da cam, tím, trắng, hồng. Rút ngẫu nhiên một bút màu trong hộp đó.
a) Viết tập hợp ${M}$ gồm các kết quả có thể xảy ra khi bút màu được rút ra.
b) Xét biến cố "Màu được rút ra là vàng". Tính xác suất của biến cố trên.
Hướng dẫn giải
a) Tập hợp ${M}$ gồm các kết quả có thể xảy ra khi bút màu được rút ra là:
${M}=$ $\{$ xanh, đỏ, vàng, da cam, tím, trắng, hồng $\}$.
b) Số phần tử của tập hợp ${M}$ là $7$.
Xác suất biến cố "Màu được rút ra là vàng" là: $\dfrac{1}{7}$
(2 điểm) Cho hai đa thức:
${P(x)}=2 {x}^3-3 {x}+5{x}^2+2+{x}$.
$Q(x)=-x^3-3 x^2+2 x+6-2 x^2$.
a) Thu gọn và sắp sếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần
b) Tính $P(x)+Q(x)$ và $P(x)-Q(x)$.
Hướng dẫn giải
a) Sắp xếp ${P(x)}$ và ${Q(x)}$ theo lũy thừa giảm dần.
$P(x)=2 x^3+5 x^2-2 x+2$.
$Q(x)=-x^3-5 x^2+2 x+6$.
b) $P(x)+Q(x)=x^3+8$.
$P(x)-Q(x)=3 x^3+10 x^2-4 x-4$.
(3 điểm)
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, vẽ tia phân giác $B D$. Kẻ $D E$ vuông góc với $B C$
( ${E}$ thuộc ${BC}$ ). Gọi ${F}$ là giao điểm của ${BA}$ và ${ED}$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ${BED}$ bằng tam giác ${BAD}$
b) Tam $BCF$ cân tại $B.$
c) ${BD}$ là đường trung tuyến của tam giác ${BCF}$?
Hướng dẫn giải
| GT |
$\Delta {ABC}: A=90^{\circ}$ ${BD}$ là phân giác của góc $B$ ${DE} \perp {BC}({E} \in {AC})$ ${BA} \cap {ED}=\{F\}$ ${BD} \cap {FC}=\{K\}$ |
| KL |
a) $\Delta {BAD}=\Delta {BED}$. b) $\Delta{BCF}$ cân tại ${B}$. c) $BD$ là đường trung tuyesn của $\Delta BCF$. |
a) Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BED$ lần lượt vuông tại $A$ và $E$.
$BD$ chung.
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD} $ ($BD$ là tia phân giác).
Suy ra $\Delta BAD= \Delta BED$ (cạnh huyền - góc nhọn).
b) Vì $\Delta {BAD}=\Delta {BED}({c} / {m}$ phần a) nên ${AD}={ED} ; {BA}={BE}$ (2)
Xét $\Delta {AFD}$ vuông tại ${A}$ và $\Delta {ECD}$ vuông tại ${E}$ có:
${AD}={ED}({cmt})$
$\widehat{A D F}=\widehat{E D C}$ (đối đỉnh)
Suy ra $\Delta {AFD}=\Delta {ECD}$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)
Nên $A F=E C$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra ${AF}+{BA}={BE}+{EC}$
Hay ${BF}={BC}$
Vậy $\Delta B C F$ cân tại $B$.
c) Giả sử ${BD}$ kéo dài cắt ${FC}$ tại ${K}$
Xét $\Delta B K F$ và $\Delta B K C$ có:
${BK}$ là cạnh chung
$\widehat{K B F}=\widehat{K B C}$ (Vì ${BD}$ là phân giác của $\widehat{A B C}$ )
${BF}={BC}$ ( chứng minh phần ${b})$
Suy ra $\Delta B K F=\Delta B K C($ c.g.c $)$
Suy ra ${KF}={KC}$ (hai cạnh tương ứng)
Vậy ${BK}$ hay ${BD}$ là đường trung tuyến của $\Delta {BCF}$.
(0,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\dfrac{2023}{x^{2022}+2023}+2022$.
Hướng dẫn giải
Biểu thức $A$ lớn nhất khi và chỉ khi ${x}^{2022}+2023$ nhỏ nhất.
Ta có: ${x}^{2022} \geq 0$ với mọi $x$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=0$.
Vậy khi $x=0$, $A$ đạt giá trị lớn nhất bằng $2023$.