Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm) Tìm điều kiện của biến số $x$ để hàm số sau có nghĩa.
a.$y=f\left(x \right)=\dfrac{2}{\left| x \right|-2}$;
b. $y=f\left(x \right)=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x+3}$.
Hướng dẫn giải
a. Hàm số $y=f\left(x \right)=\dfrac{2}{\left| x \right|-2}$ xác định khi: $\left| x \right|-2\ne 0$
Suy ra $\left| x \right|\ne 2$ hay $\left\{ \begin{aligned} & x\ne 2 \\ & x\ne -2 \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số có nghĩa khi: $x\ne 2$ và $x\ne -2$
b. Hàm số $y=f\left(x \right)=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x+3}$ xác định khi: $\left\{ \begin{aligned} & 2-x\ne 0 \\ & x+3\ne 0 \\ \end{aligned} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned} & x\ne 2 \\ & x\ne -3 \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy hàm số có nghĩa khi: $x\ne 2$ và $x\ne -3$.
Bài 2. (2 điểm) Cho hai hàm số $\left(d \right): \, y=2x - 4$ và $\left(d \right): \, y=x+4$.
a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ?
b. Gọi giao điểm của đường thẳng $\left(d \right)$ và $\left(d' \right)$ với trục $Oy$ là $N$ và $M$, giao điểm của hai đường thẳng là $Q$. Xác định tọa độ điểm $Q$ và tính diện tích $\Delta MNQ$?
Hướng dẫn giải
a. Vẽ đúng đồ thị hai hàm số
b. Vì $Q$ là giao điểm của $(d)$ và $(d')$
Phương trình hoành độ $2x - 4 = - x + 4$
$3x = 8 $
$ x = \dfrac{8}{3}$
Suy ra: $y =- x + 4 = - \dfrac{8}{3}+ 4 = \dfrac{4}{3}$
Vậy $Q\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}MN. QH = \dfrac{1}{2}.8.\dfrac{8}{3}= \dfrac{32}{3}$.
Cho tam giác cân $ABC$, có $BA=BC=a$, $AC=b$. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $M$, đường phân giác góc $C$ cắt $BA$ tại $N$.
a. Chứng minh $MN$ // $AC$.
b. Tính $MN$ theo $a$, $b$.
Hướng dẫn giải
a. Theo tính chất đường phân giác trong của góc $A$ và góc $C$ ta có $\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{a}{b}$; $\left(1 \right)$
$\dfrac{BN}{AN}=\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{a}{b}$ $\left(2 \right)$
Từ $\left(1 \right)$ và $\left(2 \right)$ ta có: $\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{BN}{AN}$.
Theo định lí Thalès đảo ta được $MN$ // $AC$.
b. Tính $MN$ theo $a$, $b$.
Theo $(2)$ có $\dfrac{BN}{AN}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{a+b}{b}$
$ \dfrac{AN}{AB}=\dfrac{b}{a+b}\Rightarrow \dfrac{BN}{AB}=\dfrac{a}{a+b}.$
Do $MN$ // $AC$ nên $\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{MN}{AC}$
$MN=\dfrac{BN}{BA}. AC=\dfrac{a}{a+b}. b=\dfrac{ab}{a+b}$.
Bài 4. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau $B=3{{x}^{2}}+3y^{2}+{{z}^{2}}+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $B={{\left[ z-\dfrac{3}{2}\left(x+y \right) \right]}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{\left(x+\dfrac{y}{3}-\dfrac{4}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{2}{3}{{\left(y-2 \right)}^{2}}+1\ge 1$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là: $1$ tại $\left\{ \begin{aligned} & y-2=0 \\ & x+\dfrac{y}{3}-\dfrac{4}{3}=0 \\ & z-\dfrac{3}{2}\left(x+y \right)=0 \\ \end{aligned} \right.$ hay $x=-\dfrac{2}{3}; \, y=2; \, z=4$.