Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức $A = \dfrac{3x+15}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}$ (với $x \ne 3$, $x \ne -3$).
a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tìm $x$ sao cho $A = \dfrac23$.
Hướng dẫn giải
a) $A = \dfrac{3x+15}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}$ (với $x \ne 3$, $x \ne -3$)
$A = \dfrac{3x+15}{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)} + \dfrac{1}{x+3} - \dfrac{2}{x-3}$
$A = \dfrac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)}$
$A = \dfrac{2x+6}{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)}$
$A =\dfrac{2}{x-3}$.
b) Để $A = \dfrac23$ thì $\dfrac2{x-3}=\dfrac23$
$x - 3 = 3$
$x = 6$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy $x = 6$ thì $A = \dfrac23$.
Bài 2. (2 điểm) Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ với vận tốc trung bình $15$ km/h. Lúc về người đó chỉ đi với vận tốc $12$ km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là $45$ phút. Tính quãng đường $AB$?
Hướng dẫn giải
Gọi $x$ (km) là quãng đường $AB$.
Điều kiện: $x > 0$.
Thời gian người đó đi xe đạp từ $A$ đến $B$ là: $\dfrac{x}{15}$ (h);
Thời gian lúc về của người đó là: $\dfrac{x}{12}$ (h).
Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi $45$ phút $=\dfrac{3}{4}$ (h), nên ta có phương trình:
$\dfrac{x}{12}-\dfrac{x}{15}=\dfrac{3}{4}$
$ \dfrac{5x}{60}-\dfrac{4x}{60}=\dfrac{45}{60}$
$5x-4x=45$
$x=45$ (TMĐK)
Vậy quãng đường $AB$ dài $45$ (km).
Bài 3. (2 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường phân giác của góc $ABC$ cắt $AC$ tại $D$ và cắt $AH$ tại $E$.
a) Chứng minh: $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ và $AB^2 = BC.BH$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của $ED$. Chứng minh: $EI.EB = EH.EA$.
Hướng dẫn giải
Chứng minh được: $\Delta ABC \backsim \Delta HBA$ (g.g)
Từ đó suy ra $AB^2 = BC.BH$
$\widehat{AED}=\widehat{ADE}$ (Cùng phụ với $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$)
Suy ra $\Delta AED$ cân tại $A $ suy ra $AI$ vuông góc với $DE$ tại $I$.
Chứng minh $\Delta EHB$ và $\Delta EIA$ đồng dạng (g.g).
Từ đó suy ra $\dfrac{EI}{EH}=\dfrac{EA}{EB}$ nên $EI.EB = EH.EA$.
Bài 4. (1 điểm) Cho hai số thực $x,y\ne 0$, chứng minh rằng $\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge 3$.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho trở thành
$\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}-1+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-2\ge 0 $
$\dfrac{4x^2y^2-(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge 0 $
$\dfrac{-(x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}\ge 0 $
$(x^2-y^2)^2.\left[ \dfrac{1}{x^2y^2}-\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2} \right]\ge 0 $
$(x^2-y^2)^2.\dfrac{(x^2+y^2)^2-x^2y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\ge 0 $
$(x^2-y^2)^2.\dfrac{x^4+y^4+x^2y^2}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\ge 0 $.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ hoặc $x=-y$.