Phần tự luận (6,5 điểm)

1) Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

Vẽ các điểm $A( -4;-4 ),$ $B( -2;-1 )$, $O( 0;0 ),$ $C( 2;-1 ),$ $D( 4;-4 )$ thuộc đồ thị hàm số $y=-\dfrac14x^2$ trong mặt phẳng $Oxy$.

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số $y=-\dfrac14x^2$.

2a) Với $m=-3$, phương trình (1) trở thành: $x^2+6x+8=0$

Tính $\Delta = 6^2-4.1.8=36-32=4>0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{2.1}=-2,\,\,x^2=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{2.1}=-4$

Vậy với $m=-3$, tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{ -2;-4 \right\}$

2b) Xét phương trình: $x^2-2mx+m^2-1=0$ (1)

Tính $\Delta =(-2m)^2-4(m^2-1)=4m^2-4m^2+4=4>0$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x^2$.

Theo định lí Viète: $x_1+x^2=2m$ và $x_1x^2=m^2-1$

Theo đề bài, ta có: $(1+x_1)(2-x^2)+(1+x^2)(2-x_1)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_1x^2-2$

$4-2x_1x^2+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_1x^2-2$

$( x_1+x^2)^2-(x_1+x^2)-x_1x^2-6=0$

$4m^2-2m-( m^2-1 )-6=0$

$3m^2-2m-5=0$

Giải phương trình bậc hai ta được: $m=-1$ hoặc $m=\dfrac{5}{3}$.

Gọi năng suất dự kiến là $x$ (sản phẩm/ngày, $x > 0$)

Năng suất thực tế là: $x + 10$ (sản phẩm/ngày)

Thời gian làm theo kế hoạch là: $\dfrac{600}{x}$ (ngày)

Thời gian làm thực tế là: $\dfrac{700}{x+10}$ (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình: $\dfrac{600}{x}-\dfrac{700}{x+10}=1$

Giải phương trình: $600(x+10)-700x=x(x+10)$

$600x+6 \, 000-700x=x^2+10x$

$x^2+10x+110x-6 \, 000=0$

$x^2+110x-6 \, 000=0$

Giải phương trình bậc hai: $x_1=40$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x_2=-150$ (loại)

Vậy theo dự định mỗi ngày phải làm $40$ sản phẩm.

a) Gọi $O$ là trung điểm của $AB$.

Xét  $\Delta AHB$ vuông tại $H$ ($AH \bot BC$), có $HO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$.

Suy ra $HO=\dfrac{AB}{2}$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Do đó $OA=OB=HO=\dfrac{AB}{2}$

Suy ra $A$, $B$, $H$ cùng thuộc đường tròn $\Big( O; \dfrac{AB}{2} \Big)$.

Chứng minh tương tự, suy ra  $A$, $E$, $B$ cũng thuộc đường tròn $\Big( O;\dfrac{AB}{2} \Big)$.

Suy ra bốn điểm $A$, $E$, $H$, $B$ cùng thuộc đường tròn $\Big( O;\dfrac{AB}{2} \Big)$.

b) Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BMA$ có:

$\widehat{BEA}=\widehat{BAM}=90^\circ$

$\widehat{ABE}$ chung

Suy ra $\Delta BAE \backsim \Delta BMA$ (g.g)

Suy ra  $\dfrac{BA}{BM}=\dfrac{BE}{BA}$ hay $AB^2=BE.BM$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: $\Delta BAH \backsim \Delta BCA$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$ hay $AB^2=BH.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BE . BM = BH . BC$ (điều phải chứng minh).

c) Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, $HM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$ nên $HM=MA=MC=\dfrac{1}{2}AC$.

Xét $\Delta MAE$ và $\Delta MBA$ có:

$\widehat{MEA}=\widehat{MAB}=90^\circ$

$\widehat{AMB}$ chung

Suy ra $\Delta MAE \backsim \Delta MBA$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{ME}{MA}$ hay $MA^2=ME.MB$.

Do đó $HM^2=ME.MB$ (3) (điều phải chứng minh).

Gọi $I$ là giao điểm của $MK$ và $HC$.

Xét $\Delta MBI$ và $\Delta MEK$ có:

$\widehat{MBI}=\widehat{MEK}=90^\circ$

$\widehat{BMK}$ chung

Suy ra $\Delta MBI\backsim \Delta MEK$ (g.g)

Suy ra  $\dfrac{MI}{ME}=\dfrac{MB}{MK}$ hay $MI . MK = ME . MB$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $MI.MK=HM^2$ hay $\dfrac{HM}{MI}=\dfrac{MK}{HM}$.

Xét $\Delta MIH$ và $\Delta MHK$ có:

$\dfrac{HM}{MI}=\dfrac{MK}{HM}$

$\widehat{HMK}$ chung

Suy ra $\Delta MIH \backsim \Delta MHK$ (c.g.c).

Do đó  $\widehat{MHK}=90^\circ$.

$x^2+6x+2=(2x+2)\sqrt{x^2+5}$

$x^2+5+6x-3-(2x+2)\sqrt{x^2+5}=0$

$x^2+5+3(2x-1)-(2x-1)\sqrt{x^2+5}-3\sqrt{x^2+5}+5=0$

$\left( \sqrt{x^2+5}-2x+1 \right)\left( \sqrt{x^2+5}-3 \right)=0$

$\left[ \begin{aligned} & \sqrt{x^2+5}=2x-1 \\ & \sqrt{x^2+5}=3 \\ \end{aligned} \right.$

Giải ra ta được $x=2$ hoặc $x=-2$.

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{ -2;2 \right\}$.