Phần tự luận (6,5 điểm)

1) Do đồ thị hàm số $y =(a-1)x^2$ đi qua điểm $A(1;-2)$

Suy ra thay $x =-1;\,y = -2$ vào hàm số ta được $(a-1).1^2 = -2$.

$a-1=-2$

$a=-1$

Vậy $a = -1$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;-2)$.

2)

a) $t=3$ (s) thì $S=5.32 = 45$ (m)

Sau thời gian $3$ giây vật cách mặt đất là: $80-45 = 35$ (m)

b) Vật tiếp đất khi $S=80$ m.

Ta có: $5t^2=80$

$t^2 = 16$

Suy ra $t=4$ (s) (Vì $t>0$)

Vậy sau thời gian $4$ giây thì vật tiếp đất.

Để (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$

$5^2 - 4(m-2) > 0$

$33-4m>0$

$m<\dfrac{33}{4}$.

Giả sử hai nghiệm của phương trình (1) là $x_1, \, x_2$, theo hệ thức Viète, ta có

$\left\{ \begin{aligned} & x_1 + x_2 =5 \\  & x_1.x_2=m-2 \end{aligned} \right.$

Để (1) có hai nghiệm phân biệt dương, ta có:

$\left\{ \begin{aligned} & m<\dfrac{33}{4} \\  & m-2>0 \end{aligned} \right.$

Suy ra $ \left\{ \begin{aligned}  & m<\dfrac{33}{4} \\ & m>2 \end{aligned} \right.$

Hay $ 2<m<\dfrac{33}{4}$.

Ta có: $2\Big( \dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}} \Big)=3$

$2\Big( \dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1.x_2}} \Big)=3$

$2(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})=3\sqrt{x_1.x_2}$

$4( x_1+x_2+2\sqrt{x_1.x_2})=9x_1.x_2$

Suy ra $4.(5+2\sqrt{m-2})=9(m-2)$

$9(m-2)-8\sqrt{m-2}-20=0$

Đặt  $\sqrt{m-2}=t, \,t\ge 0$, ta có phương trình $9t^2-8t-20=0.$

Giải phương trình, ta có  $t_1=2$ (thỏa mãn); $t_2=-\dfrac{10}{9}$ (loại).

Với $t_1=2$:

$\sqrt{m-2}=2$

$m=6$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị của $m$ là $m = 6$.

Gọi $x$ là số xe được điều đến chở hàng lúc đầu ($x \in \mathbb{Z}, x > 3$).

Số xe lúc sau là $x-2$ (xe).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc đầu là $\dfrac{67,5}{x}$ (tấn).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc sau là $\dfrac{67,5}{x-3}$ (tấn)

Ta có phương trình: $\dfrac{67,5}{x-3} -\dfrac{67,5}{x} = \dfrac{1}{4} $

Giải phương trình trên, ta được $x_1 =30$ (thoả mãn); $x_2 =- 27$ (loại).

Vậy công ty đã điều $30$ xe đến chở hàng.

a) Gọi $J$ là trung điểm của $AK$

$\Delta AMK$ vuông tại $M$, có $MJ$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $JA=JK=JM=\dfrac12 AK$ (1)

$\Delta AHK$ vuông tại $H$, có $HJ$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HA=HK=HJ=\dfrac12 AK$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $JA=JK=JM=JH$, suy ra bốn điểm $A, K , M, H$ cùng thuộc đường tròn tâm $J$ hay tứ giác $AHKM$ nội tiếp đường tròn $(J)$.

b) Xét $\Delta ANB$ và $\Delta KHB$ có:

$\widehat{ANB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\widehat{ANB} = \widehat{KHB} = 90^\circ$;

Xét $\Delta OMN$ cân tại $O$, có $OA$ là đường cao nên $OA$ là đường phân giác của góc $MON$.

Suy ra $\widehat{MOA} = \widehat{NOA}$ hay $\widehat{ABN} = \widehat{KBH}$

Suy ra $\Delta ANB \backsim \Delta KHB$ (g-g)

Suy ra $\dfrac{AN}{NB} = \dfrac{KH}{KB}$ hay $NB.HK = AN. HB$ (điều phải chứng minh).

c) Ta có $HM$ giao với đường tròn $(O)$ tại $M$ , ta phải chứng minh $HM \bot OM$.

Thật vậy:

Tứ giác $AHKM$ nội tiếp

Suy ra $\widehat{HMK} = \widehat{HAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $HK$);

$\widehat{HAK} = \widehat{NAB}$ (hai góc đối đỉnh);

Mà $\Delta OMN$ cân tại $O$, có $OA$ là đường cao nên $OA$ là đường trung trực của $MN$

Suy ra $AB$ là đường trung trực của $MN$

Suy ra $MB = NB$

Suy ra $\widehat{NAB} = \widehat{MAB}$

$\widehat{MAB} = \widehat{OMA}$ ($\Delta OAM$ cân tại $O$);

$\widehat{HMK} = \widehat{OMA} (= \widehat{HAK} = \widehat{NAB} = \widehat{MAB}$)

Suy ra $\widehat{HMK} + \widehat{HMA} = \widehat{OMA} + \widehat{HMA}$;

Mà $\widehat{HMK} + \widehat{HMA} = \widehat{AMK} = 90^\circ$ (kề bù với $\widehat{AMB} = 90^\circ$, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)

Suy ra $\widehat{OMA} + \widehat{HMA} = 90^\circ$ hay $\widehat{HMO} = 90^\circ$ nên $HM \bot OM$ tại $M$

Do đó $HM$ là tiếp tuyến của $(O)$.

a) Cỡ mẫu $n = 2 + 8 + 15 + 30 + 22 + 15 + 7 + 1 = 100$.

Bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ là:

b) Xác suất một từ có nhiều hơn $5$ chữ cái là:

$15\% + 7\% + 1\% = 23\%$.

Vậy ước lượng cho xác suất một từ có nhiều hơn $5$ chữ cái khoảng $ 23\%$.