Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Các tam giác $SAB$, tam giác $SAD$ vuông tại $A$, $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBM)$.
Hướng dẫn giải
$\Delta SAB$ vuông tại $A \Rightarrow SA\bot AB$.
$\Delta SAD$ vuông tại $A \Rightarrow SA\bot AD$.
Suy ra $SA \bot (ABCD)$.
Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $AD$.
Dựng $AH$ vuông góc với $BM$ tại $H$.
Dựng $AK$ vuông góc với $SH$ tại $K$.
$\left. \begin{aligned} & SA\bot (ABCD) \\ & BM\subset (ABCD) \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot BM$ mà $BM\bot AH$
$\Rightarrow BM\bot (SAH)$.
Ta có $\left. \begin{aligned} & BM\bot (SAH) \\ & BM\subset (SBM) \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow (SAH)\bot (SBM)$
Ta có $\left. \begin{aligned} & (SAH)\bot (SBM) \\ & (SAH)\cap (SBM)=SH \\ & AK\subset (SAH),\,AK\bot SH \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow AK\bot (SBM)$
$\Rightarrow d(A,\,(SBM))=AK$
Xét $\Delta IAB$ có $MD$ // $AB\Rightarrow \dfrac{ID}{IA}=\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CD}{AB}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow D$ là trung điểm của $IA$ $\Rightarrow IA=2AD=2a$.
$\Delta ABI$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao $\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}$.
$\left. \begin{aligned} & SA\bot (ABCD) \\ & AH\subset (ABCD) \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot AH$.
$\Delta SAH$ vuông tại $A$ có $AK$ là đường cao $\Rightarrow \dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{5}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{6}{4{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow A{{K}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{6}$$\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{\sqrt{6}}\Rightarrow d(A,\,(SBM))=\dfrac{2a}{\sqrt{6}}$.
$\dfrac{d(D,\,(SBM))}{d(A,\,(SBM))}=\dfrac{DI}{AI}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow d(D,\,(SBM))=\dfrac{1}{2}d(A,\,(SBM))=\dfrac{a}{\sqrt{6}}$.
Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là $0,2$ và $0,3$. Gọi biến cố $A$: "Lần thứ nhất bắn không trúng bia", biến cố $B$: "Lần thứ hai bắn không trúng bia". Tính xác suất của:
a) Biến cố: "Lần bắn thứ nhất trúng bia, lần bắn thứ hai không trúng bia".
b) Biến cố: "Có ít nhất một lần bắn trúng bia".
Hướng dẫn giải
Ta có: $P(A)=0,2; \, P(B)=0,3;\,P(\overline{A})=0,8; \, P(\overline{B})=0,7.$
a) Gọi $C$ là biến cố: "Lần bắn thứ nhất trúng bia, lần bắn thứ hai không trúng bia".
Ta có: $C=\overline{A}B$ và $\overline{A},\, B$ là hai biến cố độc lập
$\Rightarrow P(C)=P(\overline{A}).P(B)=0,8.0,3=0,24.$
b) Gọi biến cố $D$: "Có ít nhất một lần bắn trúng bia".
Khi đó, biến cố $\overline{D}$: "Cả hai lần bắn đều không trúng bia".
$\Rightarrow \overline{D}=AB\Rightarrow P(\overline{D})=0,06$
$\Rightarrow P(D)=1-P(\overline{D})=0,94.$
Cho phương trình $4^x-3.2^{x+2}+m=0$, với $m$ là tham số. Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm bằng $5$.
Hướng dẫn giải
Ta có $4^x-3.2^{x+2}+m=0\Leftrightarrow 4^x-12.2^x+m=0$ (1)
Đặt $t=2^x, \, (t>0)$ phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-12t+m=0$ $(2)$.
YCBT $\Leftrightarrow (2)$ có hai nghiệm dương phân biệt $t={{t}_{1}};\, t={{t}_{2}}$ và ${{\log }_{2}}{{t}_{1}}+{{\log }_{2}}{{t}_{2}}=5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \Delta '>0 \\& S>0 \\& P>0 \\ & {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=32 \\ \end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 36-m>0 \\ & m>0 \\ & m=32 \\ \end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow m=32$.