Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. (1 điểm) Cho đa thức: $A(x)=2x^3-5x^2-7x-2\,024$ và $B(x)=-2x^3+9x^2+7x+2\,025$
a) $H(x) = A(x) + B(x)$.
b) Chứng tỏ đa thức $H(x)$ vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
a) $H(x)=A(x)+B(x)=(2x^3-5x^2-7x-2\,024)+(-2x^3+9x^2+7x+2\,025)$
$H(x)=(2x^3-2x^3)+(-5x^2+9x^2)+(-7x+7x)+(-2\,024+2\,025)$
$H(x)=4x^2+1$.
b) $H(x)=4x^2+1$
Vì $4x^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $4x^2+1>0$ với mọi $x$
Suy ra $H(x)\ne 0$ với mọi giá trị của $x$
Vậy đa thức $H(x)$ vô nghiệm.
Bài 2. (1 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây. Lớp 7A có $18$ học sinh, lớp 7B có $20$ học sinh, lớp 7C có $21$ học sinh. Biết tổng số cây trồng được là $118$ cây. Tìm số cây mỗi lớp trồng được, biết năng suất mỗi người như nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số cây trồng được của mỗi lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $a$, $b$, $c$ ($a,b,c \in \mathbb{N}^*$)
Vì năng suất mỗi người như nhau nên số học sinh và số cây trồng được tỉ lệ thuận với nhau, theo đề ta có:
$ \dfrac{a}{18}=\dfrac{b}{20}=\dfrac{c}{21}$ và $a+b+c=118$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$ \dfrac{a}{18}=\dfrac{b}{20}=\dfrac{c}{21}=\dfrac{a+b+c}{18+20+21}=\dfrac{118}{59}=2$
$ a=18.2=36 $
$ b=20.2=40$
$ c=21.2=42 $
Vậy lớp 7A, 7B, 7C trồng được số cây lần lượt là $36$ (cây), $40$ (cây), $42$ (cây).
Bài 3. (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$.
a) Chứng minh rằng $\Delta CBD$ là tam giác cân.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, đường thẳng qua $D$ và song song với $BC$ cắt đường thẳng $BM$ tại $E$. Chứng minh rằng $BC = DE$.
Hướng dẫn giải
a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ có
$\widehat{CAB}=\widehat{CAD}=90^\circ $
$AC$ chung
$AB = AD$ (giả thiết)
Do đó $\Delta ABC = \Delta ADC$ (c - g - c)
Suy ra $CB = CD$ (hai cạnh tương ứng)
Vậy $\Delta CBD$ cân tại $C$.
b) Ta có $DE$ // $BC$ nên $\widehat{CMB} =\widehat{MED}$
Lại có $\widehat{BMC}=\widehat{DME}$ (đối đỉnh) (1)
$\widehat{MDE}=180^\circ-\widehat{DME}-\widehat{MED}$
$\widehat{BMC}=180^\circ-\widehat{CBM}-\widehat{BMC}$
Suy ra $\widehat{BCM}=\widehat{MDE}$ (2)
Mặt khác $MD=MC$ (giả thiết) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\Delta MBC = \Delta MED$ (g - c - g)
Suy ra $DC = DE$ mà $DC = BC$ nên $DE = BC$ (điều phải chứng minh).