Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Anh Tài gửi $400$ triệu đồng vào ngân hàng A và B theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng A với lãi suất $2,1\%$/quý trong thời gian $15$ tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng B với lãi suất $0,73\%$/tháng trong thời gian $9$ tháng. Biết tổng số tiền lãi. Anh Tài nhận được ở hai ngân hàng là $49\,144\,986,76$ đồng. Hỏi số tiền Anh tài lần lượt gửi ở hai ngân hàng A và B là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền anh Tài gửi ở ngân hàng A là $x$ triệu đồng. Suy ra số tiền anh Tài gửi ở ngân hàng B là $400-x$ triệu đồng.
⚡Số tiền cả vốn và lãi Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng A sau $15$ tháng là:
$x{{\Big(1+\dfrac{2,1}{100} \Big)}^{5}}.$
Suy ra số tiền lãi Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng A sau $15$ tháng là:
$x{{\Big(1+\dfrac{2,1}{100} \Big)}^{5}}-x.$
⚡Số tiền cả vốn và Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng B sau $9$ tháng là:
$(400-x ){{\Big(1+\dfrac{0,73}{100} \Big)}^{9}}.$
Suy ra số tiền lãi Anh tài nhận được khi gửi ở ngân hàng B sau $9$ tháng là:
$(400-x ){{\Big(1+\dfrac{0,73}{100} \Big)}^{9}}-(400-x ).$
⚡Tổng số tiền lãi Anh tài nhận được ở hai ngân hàng là $49144986,76$ đồng nên ta có phương trình:
$x{{\Big(1+\dfrac{2,1}{100} \Big)}^{5}}-x+(400-x ){{\Big(1+\dfrac{0,73}{100}\Big )}^{9}}-(400-x )=49\,144\,986,76$
$\Leftrightarrow x=160.$
Vậy Anh tài gửi ở A là $160$ triệu và B $240$ triệu.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD )$. Gọi $\alpha $ là số đo của góc nhị diện $[S,BD,A]$. Nếu $\tan \alpha =\sqrt{2}$ thì số đo của góc nhị diện $[A,SC,B]$ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
⚡Ta có: $\left\{ \begin{aligned}& BD\bot AC \\& BD\bot SA \\\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow BD\bot (SAC )\Rightarrow BD\bot SO$
Do đó:$\left\{ \begin{aligned}& (SBD )\cap (ABCD )=BD \\& AC\bot BD,AC\subset (ABCD ) \\& SO\bot BD,SO\subset (SBD ) \\\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \widehat{SOA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[S,BD,A]$, khi đó $\widehat{SOA}=\alpha $.
⚡$\Delta SAO$ vuông tại $A$ có:
$\tan \alpha =\dfrac{SA}{AO}$
$\Rightarrow SA=AO.\tan \alpha =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}. \sqrt{2}=a$
⚡Trong $\Delta SOC$ kẻ đường cao $OI,(I\in SC )$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}& SC\bot OI \\& SC\bot BD,(BD\bot (SAC ) ) \\\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow SC\bot (BIO )\Rightarrow SC\bot BI$
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}& (SAC )\cap (SBC )=SC \\& OI\bot SC,OI\subset (SAC ) \\& BI\bot SC,BI\subset (SBC ) \\\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \widehat{BIO}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[B,SC,A]$
$\Delta ICO\sim \Delta ACS(g-g )$
$\Rightarrow \dfrac{IO}{AS}=\dfrac{CO}{CS}$
$\Rightarrow IO=AS.\dfrac{CO}{\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{S}^{2}}}}$
$=a. \dfrac{a\sqrt{2}}{2.\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}$
$=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.
⚡$\Delta BOI:\tan BIO=\dfrac{BO}{OI}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{6}}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow \widehat{BIO}=60^\circ $
Vậy số đo của góc nhị diện $[A;SC;B]$ bằng $60^\circ$.
Cho khối hộp hình chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy hình vuông, $AC=2\sqrt{3}a$, số đo của góc nhị diện $[C',BD,C]$ bằng $60^\circ $. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow OC=\dfrac{AC}{2}=a\sqrt{3}$,
$AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{6}$
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}&BD=(C'BD )\cap (ABCD ) \\&OC'\bot BD (BD\bot (ACC'A' )) \\&OC\bot BD \\\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow\widehat{COC'}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[C',BD,C]$. Khi đó $\widehat{COC'}=60^\circ$.
Xét tam giác $COC'$ vuông tại $C$:
Ta có: $\tan \widehat{COC'}=\dfrac{CC'}{OC}$
$\Leftrightarrow CC'=OC\tan \widehat{COC'}=a\sqrt{3}\tan 60^\circ =3a$
Ta có: ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}={{S}_{ABCD}}.CC'={{(a\sqrt{6} )}^{2}}3a=18{{a}^{3}}$.