Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Câu 17. (1 điểm)
a) Nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 - 5x - 9} = x - 1$ bằng bao nhiêu?
b) Tìm điều kiện của $ m $ để $f(x) = x^2 - 2(2m - 3)x + 4m - 3 > 0, \, \forall x \in \mathbb{R}$.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: $ x \geq 1 $.
Bình phương hai vế của phương trình ta được: $2x^2 - 5x - 9 = x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5 \\ x = -2 \end{cases}.$
Đối chiếu với điều kiện $ x \geq 1 $ ta thấy chỉ có $ x = 5 $ thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $ x = 5 $.
b) Ta có: $f(x) = x^2 - 2(2m - 3)x + 4m - 3 > 0, \, \forall x \in \mathbb{R}.$
Điều kiện: $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ (2m - 3)^2 - (4m - 3) < 0 \end{cases}.$
Từ đó: $(2m - 3)^2 - (4m - 3) < 0 \Leftrightarrow 4m^2 - 16m + 12 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3.$
Câu 18. (1 điểm)
Tìm giá trị của tham số \( m \) để hai đường thẳng \( d_1: (2m - 1)x + my - 10 = 0 \) và \( d_2: x + 2y + 6 = 0 \) vuông góc nhau?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \( d_1: (2m - 1)x + my - 10 = 0 \) có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_1} = (2m - 1; m) \).
Đường thẳng \( d_2: 3x + 2y + 6 = 0 \) có một vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_2} = (1; 2) \).
Hai đường thẳng \( d_1 \perp d_2 \Rightarrow \overrightarrow{n_1} . \overrightarrow{n_2} = 0 \):
\[(2m - 1) + 2m = 0 \Rightarrow 4m - 1 = 0 \Rightarrow m = \dfrac{1}{4} = 0,25.\]
Câu 19. (1 điểm)
Một trận bóng đá được tổ chức ở một sân vận động có sức chứa $15\,000$ người. Với giá vé $14\$$ thì trung bình các trận đấu gần đây có $9\,500$ khán giả. Theo một khảo sát thị trường đã chỉ ra rằng cứ giá $1\$$ mỗi vé thì trung bình số khán giả tăng lên $1\,000$ người. Giá vé bằng bao nhiêu thì thu được nhiều lợi nhuận nhất (đơn vị: $\$$)?
Hướng dẫn giải
Ta thấy có hai đại lượng thay đổi là giá vé và số lượng khán giả. Gọi $ x $ là giá vé ($ x > 0 $).
Số tiền giá vé được giảm xuống là $ 14 - x $.
Số khán giả tăng lên là $ 1\,000(14 - x) $.
Số khán giả là: $9\,500 + 1\,000(14 - x).$
Do lợi nhuận = giá vé $\cdot$ số khán giả nên nếu gọi lợi nhuận thu được là $ y $ thì: $y = x . \left(9\,500 + 1\,000(14 - x)\right) = -1\,000x^2 + 23\,500x.$
Do $ y $ là tam thức bậc hai nên nhận giá trị cực đại khi $ x = -\dfrac{b}{2a} $:
$x = -\dfrac{23\,500}{-2\,000} = 11,75.$
Vậy giá vé bằng $ 11,75 $ thì thu được nhiều lợi nhuận nhất.