Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Câu 17. (1 điểm)
Cho tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên từ $1$ đến $50$. Có bao nhiêu cách chọn ra từ tập $A$ ba số tự nhiên sao cho tổng của ba số đó chia hết cho $3$.
Hướng dẫn giải
Gọi $A_1$ là tập các số của tập $A$ chia hết cho $3$. Suy ra $A_1$ có $16$ phần tử
Gọi $A_2$ là tập các số của tập $A$ chia cho $3$ dư $1$. Suy ra $A_2$ có $17$ phần tử.
Gọi $A_3$ là tập các số của tập $A$ chia cho $3$ dư $2$. Suy ra $A_3$ có $17$ phần tử
TH1: Ba số được chọn cùng thuộc $A_1$. Số cách chọn là $C_{16}^{3}=560$.
TH2: Ba số được chọn cùng thuộc $A_2$. Số cách chọn là $C_{17}^{3}=680$.
TH3: Ba số được chọn cùng thuộc $A_3$. Số cách chọn là $C_{17}^{3}=680$.
TH4: Một số được chọn thuộc $A_1$, một số được chọn thuộc $A_2$, một số được chọn
thuộc$ A_3$.Số cách chọn là: $C_{16}^{1}.C_{17}^{1}.C_{17}^{1}=4\,624$.
Vậy ta có số cách chọn thỏa mãn là $560 + 680 + 680 + 4\,624 = 6\,544$ cách.
Câu 18. (1 điểm)
Biết rằng số trung vị trong mẫu số liệu sau (đã sắp xếp theo thứ tự) bằng $14$:
\[1, \, 3, \, 4, \, 13, \, x^2 - 1, \, 18, \, 19, \, 21.\]
Tìm số nguyên dương \( x \).
Hướng dẫn giải
Số trung vị trong mẫu số liệu trên là:
\[\dfrac{x^2 - 1 + 13}{2} = \dfrac{x^2 + 12}{2}.\]
Từ giả thiết suy ra:
$\dfrac{x^2 + 12}{2} = 14 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = 4$ (tm), $x = -4$ (loại).
Vậy \( x = 4 \).
Câu 19. (1 điểm)
Viết phương trình đường thẳng ${d}$ song song với ${\Delta: x+4 y-2=0}$ và cách điểm ${A(-2 ; 3)}$ một khoảng bằng $3$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $d / / \Delta: x+4 y-2=0 \Rightarrow$ Phương trình ${d}$ có dạng: ${x+4 y+c=0}$.
Mặt khác: ${d(A, d)=3 \Rightarrow \dfrac{|-2+4.3+c|}{\sqrt{1+16}}=3 \Rightarrow|10+c|=3 \sqrt{17}}$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & c=3\sqrt{17}-10 \\ & c=-3\sqrt{17}-10 \end{aligned}\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & d_1: x+4y+3\sqrt{17}-10=0 \\& {{d}_{2}}:x+4y-3\sqrt{17}-10=0 \end{aligned} \right. \right.$.
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: ${x+4 y+3 \sqrt{17}-10=0; x+4 y-3 \sqrt{17}-10=0}$.