Phần tự luận (3 điểm)

Xét $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1$

Có $a=1>0;\,{\Delta }'=2>0$

Suy ra $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=1-\sqrt{2};\,$ ${{x}_{2}}=1+\sqrt{2}$.

$f\left( x \right)\,\,<0$

$\Leftrightarrow x\in \left( 1-\sqrt{2};\,1+\sqrt{2} \right)$ 

Vậy tập nghiệm là : $S=\left( 1-\sqrt{2};1+\sqrt{2} \right)$. 

Vì đường tròn $(C)$ có tâm $I\left( 7;2 \right)$ và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng $\Delta $ có phương trình là $3x+4y-9=0$ nên bán kính của đường tròn là $R=d(I,\Delta )=\dfrac{\left| 3.7+4.2-9 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=4$. 

Vậy phương trình đường tròn là: ${{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=16$.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oth, quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol được xác định bởi hàm số bậc hai:  $h=at^2+bt+c;\,\left( a\ne 0 \right)$  

Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{aligned}  & h\left( 0 \right)=1 \\  & h\left( 1 \right)=8,5 \\  & h\left( 2 \right)=6 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & c=1 \\  & a+b+c=8,5 \\  & 4a+2b+c=6 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & a=-5 \\  & b=12,5 \\  & c=1 \end{aligned} \right.$

Từ đó suy ra $h=-5t^2+12,5t+1$

Parabol có tọa độ đỉnh là  $I\left( 1,25;\,8,8125 \right)$

Độ cao cao nhất của quả bóng đạt được tại đỉnh của cung Parabol.

Vậy $Max\,h=8,8125$