Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Câu 17 (1 điểm)
Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$.
$mx^2-2(m-1)x+4m>0$
Hướng dẫn giải
Trường hợp $1$: $m\,=\,0 $.
Bất phương trình trở thành $2x>0\Leftrightarrow x\,>\,0$.
Vậy $m\,=\,0$ không thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp $2$: $m\,\ne \,0\,$
Để bất phương trình nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ thì
$\left\{ \begin{aligned} & a>0 \\ & \Delta <0 \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & (m-1)^2-4m^2<0 \end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & -3m^2-2m+1<0 \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m>0 \\ & \left[ \begin{aligned} & m<-1 \\ & m>\dfrac{1}{3} \end{aligned} \right. \end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{3}$.
Vậy với $m>\dfrac{1}{3}$ thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
Câu 18. (1 điểm)
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $I\left( -4;2 \right)$ và đường thẳng $d:4x-3y-3=0.$
Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ biết đường tròn $(C)$ cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A,\,B$ sao cho $AB=10$.
Hướng dẫn giải
Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Suy ra $IH \bot AB$.
$AH=\dfrac{1}{2}AB=5.$
Ta có $IH=d(I,d)=\dfrac{\left|4.(-4)-3.2-3 \right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=5$
Khi đó, bán kính của đường tròn cần tìm: $R=IA=\sqrt{IH^2+AH^2}=5\sqrt{2}.$
Phương trình đường tròn cần tìm: $(x+4)^2+(y-2)^2=50.$
Câu 19. (0,5 điểm)
Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phằng toa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí $A(2;3)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{v}=(4;-3)$ (đơn vị vận tốc là km/ h). Tọa độ $(x;y)$ vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành $5$ giờ ?
Hướng dẫn giải
Vận tốc của tàu thủy là $\left| \overrightarrow{v} \right|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$ (km/h)
Quãng đường tàu đi được sau $5$ giờ là $5.5 = 25$ (km)
Tàu chuyển động trên đường thẳng có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned} & x=2+4t \\ & y=3-3t \end{aligned} \right.\,(t\in \mathbb{R})$
Gọi tọa độ của tàu tại thời điểm bất kì là $B\Rightarrow B(2+4t;\,3-3t)$
$\overrightarrow{AB} = (4t;-3t)$
$\Rightarrow AB=\sqrt{(4t)^2+(-3t)^2}=\left| 5t \right|$
$\Rightarrow \left| 5t \right|=25$
$\Leftrightarrow t=\pm 5$
Vì tàu chạy theo hướng của $\overrightarrow{v}=(4;-3)$ nên tọa độ của tàu là $B( 22;-12).$
Câu 20. (0,5 điểm)
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ trên bờ đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển $6$ km. Gọi $C$ là điểm trên bờ sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $9$ km. Người ta cần xác định một ví trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$. Tính khoảng cách $AD$ biết giá để xây đường ống trên bờ là $50\,000$ USD mỗi km, giá để xây đường ống dưới nước là $130\,000$ USD mỗi km; và chi phí làm đường ống này là $1\,170\,000$ USD.
Hướng dẫn giải
Đặt $AD=x$ km, $0<x<9$, $CD=9-x$; $BD=\sqrt{36+(9-x)^2}$
Giá thành lắp đặt là: $50\ 000x+\sqrt{36+(9-x)^2}.130\ 000=1\ 170\ 000$ (USD)
$\Leftrightarrow 5x+13\sqrt{36+(9-x)^2}=117$
$\Leftrightarrow 13\sqrt{36+(9-x)^2}=117-5x$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 117-5x\ge 0 \\ & 169(36+81-18x+x^2)=13\ 689-1\ 170x+25x^2 \end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\le \dfrac{117}{5} \\ & 144x^2-1\, 872x+6\, 084=0 \end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{2}$.
Vậy $AD=6,5$ km.