Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (3 điểm)
Câu 17 (1 điểm).
a) Tìm $m$ để tam thức bậc hai: $f(x)=x^2+(m-1)x+m+5$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) Giải phương trình $\sqrt{2x^2-8x+4}=x-2$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có $f(x)=x^2+2(m-1)x+m+5$ có $\Delta '=(m-1)^2-(m+5)=m^2-3m-4$
Lại có hệ số $a = 1 > 0$.
Để $f(x)$ luôn dương (cùng dấu hệ số $a$) với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $\Delta '<0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-4<0$.
Xét tam thức $h(m)=m^2-3m-4$ có ${{\Delta }_{m}}=9-4.(-4)=25>0$ nên $h(m)$ có hai nghiệm là $m_1=-1$ và $m_2=4$.
Ta có bảng xét dấu của $h(m)$:
Do đó $h(m) < 0$ với mọi $x\in (-1;4)$
Hay $\Delta '<0$ với mọi $x\in (-1;4)$
Vậy $x\in (-1;4)$ thì tam thức bậc hai $f(x)=x^2+(m-1)x+m+5$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) Bình phương hai vế ta được: $2x^2-8x+4=x^2-4x+4$
$\Leftrightarrow x^2-4x=0$
Suy ra $x=0$ hoặc $x=4$
Thử lại nghiệm được $x=4$ thỏa mãn phương trình.
Vậy tập nghiệm $S = {4}$.
Câu 18. (1 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x-3)^2+(y+2)^2=36$ và đường thẳng $\Delta : 3x+4y+7=0$.
a) Tính $\cos\alpha $ với $\alpha $ là góc giữa $\Delta $ và ${\Delta }_{1}: 5x-12y+7=0$.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với $\Delta $ và tiếp xúc $(C)$.
Hướng dẫn giải
a)
$\begin{aligned} & \overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;4);\\ & \overrightarrow{n_{{\Delta }_{1}}}=(5;-12). \end{aligned}$
$\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{n_{\Delta }};\overrightarrow{n_{{\Delta }_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| 3.5+4.(-12) \right|}{5.13}=\dfrac{33}{65}$.
b) $(C)$ có tâm $I(3; -2)$, bán kính $R=6$
Đường thẳng $d$ có dạng $4x-3y+m=0$ ($m$ khác $7$)
$d$ tiếp xúc $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,d)=R \Leftrightarrow \dfrac{\left| 12+6+m \right|}{5}=6$.
Tìm được $m=-48$(TM), $m=12$ (TM)
Vậy có hai đường thẳng $d$ thỏa mãn là $4x-3y-48=0$ và $4x-3y+12=0$.
Câu 19. (1 điểm)
Bạn Hà cần làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước $17$ cm x $25$ cm, độ rộng viền xung quanh là $x$ (cm). Hỏi bạn Hà cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa bao nhiêu cm để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là $513$ (cm2).
Hướng dẫn giải
Kích thước của cả khung ảnh là $(17+2x)$ cm x $(25+2x)$ cm (Điều kiện: $x>0$)
Diện tích cả khung ảnh là: S = $(17+2x ).(25+2x)=4x^2+84x+425$
Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là $513$ cm2 thì $S=4{{x}^{2}}+84x+425\le 513$
$\Rightarrow 4x^2+84x-88\le 0\Leftrightarrow -22\le x\le 1$. Vì $x>0$ nên $x\in (0;1]$
Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa $1$ (cm).