Quay lại giao diện cũ
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Bài 12 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $5$cm, dây $AB$ bằng $8$cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$.
b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $AB$ sao cho $AI = 1$cm. Kẻ dây $CD$ đi qua $I$ và vuông góc với $AB$. Chứng minh rằng $CD$ = $AB$.
Hướng dẫn giải
a) Kẻ $OH \perp AB$. Ta có
$AH=HB=\dfrac{AB}{2}=4$(cm)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $OHB$, ta tính được $OH=3$(cm).
b) Kẻ $OK \perp CD$. Tứ giác $OHIK$ có
$\widehat{H}=\widehat{I}=\widehat{K}=90^{\circ}$
nên nó là hình chữ nhật. Do đó
$OK=IH=4-1=3$(cm)
Suy ra $OH=OK$ nên $AB=CD$.
Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn $(O)$ có các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $E$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng:
a) $EH = EK$ ;
b) $EA = EC$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $HA=HB, KC=KD$ nên $OH \perp AB, OK \perp CD$
Vì $AB=CD$ nên $OH=OK$
$\Delta OEH=\Delta OEK$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra $EH=EK$. (1)
b) $AB=CD$ $\Rightarrow$ $HA=KC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $EA = EC$.
Bài 14 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $25$cm, dây $AB$ bằng $40$cm. Vẽ dây $CD$ song song với $AB$ và có khoảng cách đến $AB$ bằng $22$cm. Tính độ dài dây $CD$.
Hướng dẫn giải
Ta tính được khoảng cách $OH$ từ $O$ đến $AB$ bằng $15$cm. Gọi $K$ là giao điểm của $HO$ và $CD$. Do $CD / / AB$ nên $OK \perp CD$. Ta có:
$OK=HK-OH=22-15=7$(cm)
Từ đó tính được $CD=48$cm.
Bài 15 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.
Hãy so sánh các độ dài:
a) OH và OK
b) ME và MF
c) MH và MK.
Hướng dẫn giải
a) Trong đường tròn nhỏ: $AB>CD$ $\Rightarrow$ $OH<OK$.
b) Trong đường tròn lớn : $OH<OK$ $\Rightarrow$ $ME>MF$.
c) Trong đường tròn lớn : $ME>MF$ $\Rightarrow$ $MH>MK$.
Bài 16 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Hướng dẫn giải
Kẻ $OH \perp EF$.
Trong tam giác $OHA$ vuông tại $H$, ta có:
$OA>OH$
Suy ra $BC<EF$
Chú ý. Có thể khai thác bài 16 dưới dạng bài toán cực trị :
Qua điểm $A$ nằm trong đường tròn $(O)$, dựng dây $BC$ có độ dài nhỏ nhất.