Quay lại giao diện cũ
Liên hệ giữa cung và dây
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC // DE.
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
a) Chú ý rằng $AD\perp BC$ và $EA$ là đường kính.
b) Áp dụng tính chất: hai cung nằm giữa hai dây song song thì bằng nhau để chứng minh $BE=CD$.
Cho đường tròn (O ; R) hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc cung nhỏ AB). Kẻ đường kính BE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) $AC = DE.$
b) $IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2.$
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh AE // CD.
b) Áp dụng định lí Pi-ta-go
\(IA^2+IC^2=AC^2=DE^2\);
\(IB^2+ID^2=BD^2\).
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông góc với AB cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD, cắt đường tròn tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:
a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.
b) DE = BF.
Hướng dẫn giải
b) Chứng minh được \(\stackrel\frown{BC}=\stackrel\frown{BE}\).
\(\stackrel\frown{BF}=\stackrel\frown{BC}+\stackrel\frown{CF}=\stackrel\frown{BE}+\stackrel\frown{BD}\).
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:
a) \(\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{BN}\).
b) Tứ giác $OKME$ là hình chữ nhật.
c) Ba điểm $P,$ $O,$ $N$ thẳng hàng và $KE // PN$.
Hướng dẫn giải
Xem hướng dẫn.
Cho hai đường tròn đồng tâm (O;R) và (O;r) với R > r. Từ một điểm P ở trên đường tròn (O ; R), kẻ hai tia Px, Py không qua O cắt hai đường tròn theo thứ tự ở A, B, E và C, D, F. Biết rằng AB > CD. Chứng minh rằng:
a) PA = BE;
b) So sánh các cung nhỏ PE, PF.
Hướng dẫn giải
a) Kẻ OI $\perp$ Px. Ta thấy I là trung điểm của AB và PE nên PA = PI - AI = IE - IB = BE.
b) Kẻ OK $\perp$ Py. Do AB > CD nên OI < OK. (Khoảng cách đến dây dài hơn thì ngắn hơn và ngược lại)
Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng dây AB của đường tròn có độ dài bằng 2a và khoảng cách từ điểm chính giữa cung AB đến dây AB bằng h.
Hướng dẫn giải
Đặt bán kính của đường tròn là x.
Ta có: OB = x, OC = x, HC = h, HB = a.
Suy ra OH = OC - HC = x - h.
Sau đó áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHB.