Quay lại giao diện cũ
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tìm $x,$ $y$ trong hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{25}{36}.\)
Đặt $x=25t,$ $y=36t$.
Ta có $AH^2 = 30^2 = xy = 900t^2\Rightarrow t = 1$.
Suy ra $x = 25,$ $y=36$.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hạ HE $\bot$ AB, HF $\bot$ AC.
a) Chứng minh $\dfrac{AF}{CH}= \dfrac{BH}{AC}$;
b) Cho BC cố định, tìm vị trí của A để diện tích hình chữ nhật AEHF lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) $HB.HC = AF.AC = AH^2$.
b) $S_{AEHF} = AE.AF$.
Theo câu a thì $AE.AF.AB.AC = AH^4$, mà $AB.AC = AH.BC$ nên $AE.AF=\dfrac{AH^3}{BC}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM=\dfrac12 BC$ (cố định), $AH\le AM$ nên $S_{AEHF}$ lớn nhất khi và chỉ khi $H$ trùng $M$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao. Biết $AH = 3cm$, $BH = 4cm$.
a) Tính độ dài trung tuyến $AM$
b) Tính độ dài đường phân giác $AD$.
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(AH^2=BH.HC\)\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{AH^2}{HB}=2,25cm\).
\(BC=BH+HC=4+2,25=6,25cm\).
\(AM=\dfrac{BC}{2}=3,125cm\).
b) Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=5cm\).
\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6,25^2-5^2}=3,75cm\).
Theo tính chất tia phân giác của một góc:\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{3,75}=\dfrac{4}{3}\).
Gọi E, F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và AB. Ta thấy ngay FDEA là hình vuông nội tiếp tam giác vuông ABC.
Từ đó ta có \(\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow DE=\dfrac{3}{7}.5=\dfrac{15}{7}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AD=\dfrac{15\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\).
Cho hình thang $ABCD$ có $AB // CD$. Kẻ $DP$, $CH$ vuông góc với $AB$. Biết $DC = 3cm$, $DP = CH = 4cm$, các góc \(\widehat{DAP}=60^o\), \(\widehat{HCB}=60^o\). Tính chu vi và diện tích hình thang $ABCD$.
Hướng dẫn giải
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\(AP=DP.cot\widehat{DAP}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\).
\(HB=CH.tan\widehat{HCB}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\).
\(DA.sin\widehat{DAP}=DP\Leftrightarrow DA=\dfrac{DP}{sin\widehat{DAP}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\).
Tương tự:
\(CB=\dfrac{CH}{cos\widehat{HCB}}=\dfrac{4}{cos60^o}=8\left(cm\right)\).
\(AB=AP+PH+HB=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+3+4\sqrt{3}\) \(=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}+3\left(cm\right)\).
Diện tích hình thang ABCD là:
\(\dfrac{\left(DC+AB\right).CH}{2}=\dfrac{\left(3+3+\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\right).4}{2}=2\left(6+\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\right)\left(cm^2\right)\)
Chu vi hình thang ABCD là: \(\dfrac{16\sqrt{3}}{3}+3+3+\dfrac{8\sqrt{3}}{3}+8=14+8\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Tính diện tích tam giác cân có chiều cao tương ứng với cạnh đáy bằng 10cm, chiều cao tương ứng với cạnh bên bằng 12cm.
Hướng dẫn giải
Đặt $CD = x,$ $AC = y$.
Ta có: $10.x = 6.y$ ($=S_{ABC}$)
Suy ra $\dfrac xy = \dfrac35$.
Đặt $x = 3t,$ $y=5t$.
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ACD$ tìm được $t=2$.
Vậy $x=6,$ $S_{ABC}=60cm^2$.
Cho $\tan \alpha = 3$. Tính
a) \(\dfrac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{3\sin\alpha-4\cos\alpha}.\)
b) \(\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}.\)
Hướng dẫn giải
a) Chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ được \(\dfrac{2+3\tan\alpha}{3-4\tan\alpha}\).
Đáp số: $-\dfrac{11}{9}$.
b) Chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ được \(\dfrac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha-\tan\alpha+1}\).
Đáp số: $\dfrac{3}{7}$.
Đơn giản các biểu thức sau:
a) $1 - \sin^2 \alpha$.
b) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
c) $\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha \tan^2 \alpha$.
d) $\tan^2 \alpha(2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha -1)$.
Hướng dẫn giải
Áp dụng: $\sin ^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ và $\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
a) $\cos ^2 \alpha$.
b) $1$.
c) $\sin ^2 \alpha$.
d) chú ý: biểu thức trong ngoặc bằng $\cos^2 \alpha$.
Đáp số: $\sin ^2 \alpha$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ chia cạnh huyền $BC$ thành hai đoạn $BH$, $CH$ có độ dài lần lượt là $4cm$, $9cm$. Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $AC$.
a) Tính độ dài $DE$.
b) Các đường vuông góc với $DE$ tại $D$ và tại $E$ lần lượt cắt $BC$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $BH$ và $N$ là trung điểm của $CH$.
c) Tính diện tích tứ giác $DENM$.
Hướng dẫn giải
a) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì vậy DE = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(AH^2=BH.HC=4.9=36\Rightarrow AH=6\left(cm\right)\).
Vậy DE = AH = 6(cm).
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra OD = OH.
Xét tam giác DMO và tam giác HMO có:
MO chung
OD = OH
\(\widehat{ODM}=\widehat{OHM}=90^o\)
Suy ra \(\Delta DMO=\Delta HMO\) (ch - cgv).
Vì vậy \(DM=MH\). (1)
Từ đó suy ra tam giác MDH cân tại M hay \(\widehat{MDH}=\widehat{DHM}\).
Có \(\widehat{BDM}+\widehat{MDH}=90^o,\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^o\).
Suy ra \(\widehat{MDB}=\widehat{DBM}\). Vì vậy tam giác BDM cân tại M hay MB = MD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = MH hay M là trung điểm của BH.
Chứng minh tương tự ta có N là trung điểm của CH.
c) Tứ giác EDMN là hình thang với đường cao DE, các đáy DM và EN.
DM = BH : 2 = 2(cm), EN = AH : 2 = 4,5(cm).
Diện tích hình thang EDMN là:
\(\dfrac{DE.\left(DM+EN\right)}{2}=\dfrac{6\left(2+4,5\right)}{2}=19,5\left(cm^2\right)\).
Cho tam giác cân $ABC$, $AB =AC = 10cm$, $BC = 16cm$. Trên đường cao $AH$ lấy điểm $I$ sao cho \(AI=\dfrac{1}{3}AH\). Vẽ tia $Cx$ song song với $AH$. Tia $Cx$ cắt tia $BI$ tại $D$.
a) Sử dụng MTCT, tính số đo (chính xác tới phút) các góc của tam giác $ABC$.
b) Tính diện tích tứ giác $ABCD$.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của BC.
Vì vậy BH = HC = 16 : 2 = 8(cm).
\(cos\widehat{ACB}=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\) suy ra \(\widehat{BCA}\cong36^o52'\).
Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=36^o52'\).
\(\widehat{BAC}=180^o-\left(36^o52'+36^o52'\right)=106^o16'\).
b) Do CD//AH nên áp dụng định lý Ta-let ta có:
\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{HI}{DC}=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
\(AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=6\left(cm\right)\).
Suy ra \(HI=\dfrac{2}{3}AH=4\left(cm\right)\).
Vì vậy \(DC=2HI=2.4=8\left(cm\right)\).
Diện tích tứ giác ABCD là:
\(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta ADC}=\dfrac{1}{2}AH.BC+\dfrac{1}{2}HC.DC\) \(=\dfrac{1}{2}.6.16+\dfrac{1}{2}.8.8=80\left(cm^2\right)\).
Cho hình vuông $ABCD$. Qua $A$, vẽ cát tuyến bất kì cắt cạnh $BC$ và tia $DC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\).
Hướng dẫn giải
Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho \(DH=BE.\).
Ta có \(\Delta ABE=\Delta ADH\left(c-g-c\right)\Rightarrow AE=AH\).
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHF: \(\widehat{HAF}=90^o;AD\perp HF\).
Ta có \(\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\) nên \(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\).
Tính diện tích tam giác có các cạnh lần lượt là 10, 17, 21.
Hướng dẫn giải
Đặt $CH=x$ thì $BH = 21-x$.
Ta có: $AB^2 - BH^2 = AC^2 -CH^2$ ($=AH^2$)
Suy ra $10^2 - (21-x)^2 = 17^2 - x^2$.
Phương trình có nghiệm $x=6$.
Từ đó $AH=8$.
Diện tích tam giác bằng $84$ (đvdt).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, $\hat{A}={60}^\circ$. Điểm $M\in BC$. Hạ ME $\bot$ AB, MF $\bot$ AC. Gọi I là trung điểm AM.
a)Tính góc $\widehat{EIF}$;
b) Tính $EF$ nếu $AM = a (a > 0)$;
c) Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn EF nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Vì $\widehat{AEM}=\widehat{AFM}={90}^\circ$ nên A, E, M, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AM $\Rightarrow\ \widehat{EIF}=2\widehat{EAF}={120}^\circ$ (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{EF}\)).
b) Hạ $IH\bot EF$, ta có $IE=IF=\frac{1}{2}AM$ nên $\Delta IEF$ cân $\Rightarrow HE=HF$.
Ta lại có: $EH=EI.\sin{\widehat{EIH}}=\frac{1}{2}AM.\sin{{60}^\circ}$ (vì $\widehat{EIH}=\widehat{FIH}=\frac{1}{2}\widehat{EIF}={60}^\circ$).
Suy ra $EH=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4}\Rightarrow EF=2EH=\frac{a\sqrt3}{2}$.
c) EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ AM $\bot$ BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi AD là phân giác trong của tam giác AHC.
a) Chứng minh tam giác BAD là tam giác cân;
b) Cho BC = 25cm, HD = 6cm. Tính AB.
Hướng dẫn giải
a) Có $\widehat{BAD}={90}^\circ-\widehat{A_1};\ \widehat{BDA}={90}^\circ-\widehat{A_2}$.
Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$. Do đó $\Delta BAD$ cân tại B.
b) Đặt $AB=x$ $(6 <x<25)$ thì $BD=x$, $BH = x-6$.
$BH.BC=AB^2\Rightarrow\left(x-6\right).25=x^2\Leftrightarrow x^2-25x+150=0 \Leftrightarrow x=10$ hoặc $x=15$.
Vậy $AB = 10cm$ hoặc $AB = 15cm$.
Cho tam giác ABC, $\hat{B}={45}^o,$ $\hat{C}={30}^o,$ $BC=10cm$. Tính $AB$ và $AC$.
Hướng dẫn giải
Hạ $AH\bot BC$. Đặt $BH=x$ $\left(0<x<10\right)$ $\Rightarrow AH=x,$ $HC=10-x$.
$AH=HC.\tan{{30}^\circ}\Leftrightarrow x=\left(10-x\right)\frac{1}{\sqrt3} \Leftrightarrow\left(\sqrt3+1\right)x=10$
$\Leftrightarrow\left(\sqrt3+1\right)x=10\Leftrightarrow x=\frac{10}{\sqrt3+1}=5\left(\sqrt3-1\right).$
Suy ra $AH = 5(\sqrt{3}-1)$.
$AC=\frac{AH}{\sin{C}}=\frac{AH}{\sin{{30}^o}}=2.AH=10\left(\sqrt3-1\right)\ cm.$