CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. HỆ BẬC NHẤT HAI ẨN

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

+ Cặp số $(x_0; \, y_0)$ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó.

+ Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình.

+ Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để khử bớt một ẩn, từ đó sẽ giải được hệ.

II. MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

1. Hệ đối xứng loại I

a) Một hệ phương trình ẩn $x, \, y$ được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I nếu trong mỗi phương trình, khi ta đổi vai trò của $x$ và $y$ cho nhau thì phương trình đó không đổi.

b) Tính chất: Nếu $(x_0; \, y_0)$ là một nghiệm thì $(y_0; \, x_0)$ cũng là nghiệm của hệ.

c) Cách giải: Đặt $\begin{cases} S = x + y \\ P = x \cdot y \end{cases}$ với điều kiện $S^2 \ge 4P$ để quy hệ phương trình về hai ẩn $S$ và $P$.

Chú ý:

- Trong một số hệ phương trình, tính đối xứng đôi khi chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ giữa $S, \, P$, từ đó suy ra quan hệ giữa $x, \, y$.

- Một số hệ phương trình cần phép đặt ẩn phụ để đưa về dạng hệ phương trình đối xứng loại I.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x + y + 2xy = 2 \\ x^3 + y^3 = 8 \end{cases}$

Lời giải:

Đặt $\begin{cases} S = x + y \\ P = x \cdot y \end{cases}$ (điều kiện $S^2 \ge 4P$). Hệ phương trình đã cho trở thành:

$\begin{cases} S + 2P = 2 \\ S(S^2 - 3P) = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} P = \dfrac{2 - S}{2} \\ S\Big(S^2 - \dfrac{6 - 3S}{2}\Big) = 8 \end{cases} \Rightarrow 2S^3 + 3S^2 - 6S - 16 = 0$

$\Leftrightarrow (S - 2)(2S^2 + 7S + 8) = 0 \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0$.

Suy ra $x, \, y$ là hai nghiệm của phương trình: $X^2 - 2X = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} X = 0 \\ X = 2 \end{bmatrix}$.

Từ đó ta có các cặp nghiệm: $\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$.

2. Hệ đối xứng loại II

Một hệ phương trình hai ẩn $x, \, y$ được gọi là đối xứng loại II nếu trong hệ phương trình, khi ta đổi vai trò $x, \, y$ cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.

+ Tính chất: Nếu $(x_0; \, y_0)$ là một nghiệm của hệ thì $(y_0; \, x_0)$ cũng là nghiệm.

+ Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được một phương trình có dạng:

$(x - y) \cdot f(x; \, y) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x - y = 0 \\ f(x; \, y) = 0 \end{bmatrix}$.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 + \sqrt{x} = 2y \\ y^2 + \sqrt{y} = 2x \end{cases}$

Lời giải:

Điều kiện: $x, \, y \ge 0$. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

$x^2 + \sqrt{x} - (y^2 + \sqrt{y}) = 2(y - x)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x} - \sqrt{y})[(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x + y) + 1 + 2(\sqrt{x} + \sqrt{y})] = 0$.

Vì $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x + y) + 1 + 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) > 0$ nên phương trình tương đương với $x = y$.

Thay $x = y$ vào hệ, ta được: $x^2 - 2x + \sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} - 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}$.

Vậy hệ có $3$ cặp nghiệm: $(x; \, y) = (0; \, 0), \, (1; \, 1), \, \Big(\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}; \, \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\Big)$.

3. Hệ có yếu tố đẳng cấp

+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp.

+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp. Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

$\begin{cases} ax^2 + bxy + cy^2 = d \\ ex^2 + gxy + hy^2 = k \end{cases}$; $\begin{cases} ax^2 + bxy + cy^2 = dx + ey \\ gx^2 + hxy + ky^2 = lx + my \end{cases}$; $\begin{cases} ax^2 + bxy + cy^2 = d \\ gx^3 + hx^2y + kxy^2 + ly^3 = mx + ny \end{cases}$

Phương pháp chung: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc $n$: $a_1x^n + a_kx^{n-k} \cdot y^k + \dots + a_ny^n = 0$.

Từ đó ta xét hai trường hợp:

+ $x = 0$ (hoặc $y=0$) thay vào để kiểm tra nghiệm.

+ $x \ne 0$, ta đặt $y = tx$ thì thu được phương trình: $a_n \cdot t^n + a_k \cdot t^k + \dots + a_1 = 0$. Giải phương trình tìm $t$, sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm $x, \, y$.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3 - 8x = y^3 + 2y \\ x^2 - 3 = 3(y^2 + 1) \end{cases}$

Lời giải:

Ta biến đổi hệ thành: $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8x + 2y \\ x^2 - 3y^2 = 6 \end{cases}$

Nhân chéo hai phương trình của hệ, ta có: $6(x^3 - y^3) = (8x + 2y)(x^2 - 3y^2)$. Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3. Từ đó ta có cách giải sau:

Dễ thấy $x = 0$ không là nghiệm của hệ. Đặt $y = tx$, hệ trở thành:

$\begin{cases} x^3 - t^3x^3 = 8x + 2tx \\ x^2 - 3t^2x^2 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2(1 - t^3) = 2t + 8 \\ x^2(1 - 3t^2) = 6 \end{cases}$

Lập tỉ số: $\dfrac{1 - t^3}{1 - 3t^2} = \dfrac{2t + 8}{6} = \dfrac{t + 4}{3} \Leftrightarrow 3(1 - t^3) = (t + 4)(1 - 3t^2) \Leftrightarrow 12t^2 - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = \dfrac{1}{3} \\ t = -\dfrac{1}{4} \end{bmatrix}$.

- Với $t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \begin{cases} x^2\Big(1 - 3 \cdot \dfrac{1}{9}\Big) = 6 \\ y = \dfrac{x}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \pm 3 \\ y = \pm 1 \end{cases}$.

- Với $t = -\dfrac{1}{4} \Rightarrow \begin{cases} x^2\Big(1 - 3 \cdot \dfrac{1}{16}\Big) = 6 \\ y = -\dfrac{x}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \pm \dfrac{4\sqrt{78}}{13} \\ y = \mp \dfrac{\sqrt{78}}{13} \end{cases}$.

Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: $(x; \, y) = (3; \, 1), \, (-3; \, -1), \, \Big(\dfrac{4\sqrt{78}}{13}; \, -\dfrac{\sqrt{78}}{13}\Big), \, \Big(-\dfrac{4\sqrt{78}}{13}; \, \dfrac{\sqrt{78}}{13}\Big)$.

4. Phương pháp biến đổi tương đương

Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: thế, biến đổi các phương trình về dạng tích, cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt,...

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3y^2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y\sqrt{x^2 + 2y + 1} \quad (1) \\ y(y - x) = 3 - 3y \quad (2) \end{cases}$

Lời giải:

Điều kiện: $x^2 + 2y + 1 \ge 0$. Phương trình (1) tương đương:

$4y^2 - 4y\sqrt{x^2 + 2y + 1} + x^2 + 2y + 1 = x^2 - 2xy + y^2$

$\Leftrightarrow (2y - \sqrt{x^2 + 2y + 1})^2 = (x - y)^2 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + 2y + 1} = 3y - x \\ \sqrt{x^2 + 2y + 1} = x + y \end{bmatrix}$.

- Trường hợp 1: $\sqrt{x^2 + 2y + 1} = 3y - x$. Bình phương hai vế phương trình, ta được:

$\begin{cases} 3y \ge x \\ x^2 + 2y + 1 = 9y^2 - 6xy + x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3y \ge x \\ 6xy = 9y^2 - 2y - 1 \end{cases}$

Kết hợp với phương trình (2) là $xy = y^2 + 3y - 3$, ta có: $6(y^2 + 3y - 3) = 9y^2 - 2y - 1 \Leftrightarrow 3y^2 - 20y + 17 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ (thỏa mãn)} \\ y = \dfrac{17}{3} \Rightarrow x = \dfrac{415}{51} \text{ (thỏa mãn)} \end{bmatrix}$.

- Trường hợp 2: $\sqrt{x^2 + 2y + 1} = x + y$. Bình phương hai vế phương trình:

$\begin{cases} x + y \ge 0 \\ x^2 + 2y + 1 = x^2 + 2xy + y^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y \ge 0 \\ 2xy = -y^2 + 2y + 1 \end{cases}$

Kết hợp với $xy = y^2 + 3y - 3$, ta có: $2(y^2 + 3y - 3) = -y^2 + 2y + 1 \Leftrightarrow 3y^2 + 4y - 7 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ (thỏa mãn)} \\ y = -\dfrac{7}{3} \Rightarrow x = \dfrac{41}{21} \text{ (loại vì } x + y < 0) \end{bmatrix}$.

Vậy hệ có nghiệm $(x; \, y) = (1; \, 1), \, \Big(\dfrac{415}{51}; \, \dfrac{17}{3}\Big)$.

5. Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức $f(x; \, y)$ và $g(x; \, y)$ trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương trình. Để tạo ra ẩn phụ, người giải cần xử lý linh hoạt thông qua các kỹ thuật: nhóm nhân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, hằng đẳng thức,...

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x^2 - 2xy - y^2 = 2 \\ 2x^3 - 3x^2 - 3xy^2 - y^3 + 1 = 0 \end{cases}$

Lời giải:

Ta viết lại hệ phương trình thành:

$\begin{cases} 3x^2 - (x + y)^2 = 2 \\ 3x^3 + 3x^2y - (x + y)^3 - 3x^2 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x^2 - (x + y)^2 = 2 \\ 3x^2(x + y) - (x + y)^3 - 3x^2 = -1 \end{cases}$

Đặt $a = 3x^2$ và $b = x + y$, ta thu được hệ phương trình: $\begin{cases} a - b^2 = 2 \quad (1) \\ ab - b^3 - a = -1 \quad (2) \end{cases}$

Từ phương trình (1) suy ra $a = b^2 + 2$, thế vào phương trình (2) ta thu được:

$(b^2 + 2)b - b^3 - (b^2 + 2) = -1 \Leftrightarrow b^2 - 2b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = 1 \Rightarrow a = 3$.

Khi $\begin{cases} a = 3 \\ b = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases} \end{bmatrix}$.

Tóm lại hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: $(x; \, y) = (1; \, 0), \, (-1; \, 2)$.

6. Khi trong hệ có chứa phương trình bậc hai theo ẩn $x$ hoặc $y$

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn $x$ hoặc $y$ ta có thể hướng xử lý như sau:

* Nếu $\Delta$ chính phương, ta giải $x$ theo $y$ rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp.

* Nếu $\Delta$ không chính phương ta thường: Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có $\Delta$ chính phương, hoặc dùng điều kiện $\Delta \ge 0$ để tìm tập giá trị của biến.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} xy + x + y = x^2 - 2y^2 \quad (1) \\ x\sqrt{2y} - y\sqrt{x - 1} = 2x - 2y \quad (2) \end{cases}$

Lời giải:

Xét phương trình (1), ta có: $x^2 - x(y + 1) - 2y^2 - y = 0$. Coi đây là phương trình bậc 2 của $x$:

$\Delta = (y + 1)^2 + 8y^2 + 4y = 9y^2 + 6y + 1 = (3y + 1)^2$. Từ đó suy ra:

$\begin{bmatrix} x = \dfrac{y + 1 - (3y + 1)}{2} = -y \\ x = \dfrac{y + 1 + (3y + 1)}{2} = 2y + 1 \end{bmatrix}$

- Trường hợp 1: $x = -y$. Từ phương trình (2) ta có điều kiện $x \ge 1; \, y \ge 0$. Suy ra phương trình vô nghiệm (vì $y \ge 0 \Rightarrow x = -y \le 0$).

- Trường hợp 2: $x = 2y + 1$, thay vào phương trình (2) ta có:

$(2y + 1)\sqrt{2y} - y\sqrt{2y} = 2(2y + 1) - 2y \Leftrightarrow (y + 1)\sqrt{2y} = 2(y + 1) \Leftrightarrow (y + 1)(\sqrt{2y} - 2) = 0$.

Vì $y \ge 0 \Rightarrow y + 1 > 0$, do đó $\sqrt{2y} - 2 = 0 \Leftrightarrow 2y = 4 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow x = 5$.

Vậy hệ có một cặp nghiệm: $(x; \, y) = (5; \, 2)$.

7. Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: AM-GM (Cauchy), Bunhiacopxki,... qua đó so sánh hai vế để tìm ra mối quan hệ giữa $x$ và $y$.

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{1 + 2x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + 2y^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1 + 2xy}} \quad (1) \\ \sqrt{x(1 - 2x)} + \sqrt{y(1 - 2y)} = \dfrac{2}{9} \quad (2) \end{cases}$

Lời giải:

Điều kiện: $0 \le x, \, y \le \dfrac{1}{2}$.

Đặt $a = x\sqrt{2}$ và $b = y\sqrt{2}$. Với điều kiện trên ta có $a, \, b \in \Big[0; \, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big] \Rightarrow ab \le \dfrac{1}{2} < 1$.

Xét phương trình (1): $VT = \dfrac{1}{\sqrt{1 + a^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 + b^2}} \le \sqrt{2\left(\dfrac{1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1 + b^2}\right)}$.

Ta sử dụng bổ đề: Với $a, \, b > 0$ và $ab \le 1$, ta luôn có bất đẳng thức:

$\dfrac{1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1 + b^2} \le \dfrac{2}{1 + ab} \Leftrightarrow \dfrac{(a - b)^2(ab - 1)}{(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)} \le 0$ (luôn đúng).

Vậy $VT \le \sqrt{2 \cdot \dfrac{2}{1 + ab}} = \dfrac{2}{\sqrt{1 + ab}} = VP$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b \Leftrightarrow x = y$. Thay $x = y$ vào (2) ta được:

$2\sqrt{x(1 - 2x)} = \dfrac{2}{9} \Leftrightarrow x - 2x^2 = \dfrac{1}{81} \Leftrightarrow 162x^2 - 81x + 1 = 0$.

Giải phương trình ta thu được nghiệm của hệ: $(x; \, y) = \Big(\dfrac{9 - \sqrt{73}}{36}; \, \dfrac{9 - \sqrt{73}}{36}\Big), \, \Big(\dfrac{9 + \sqrt{73}}{36}; \, \dfrac{9 + \sqrt{73}}{36}\Big)$.