Những hằng đẳng thức đáng nhớ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bảy hằng đẳng thức cơ bản

Là những đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý. Với $A$ và $B$ là hai biểu thức bất kì, ta có các hằng đẳng thức sau:

+ Bình phương của một tổng: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$.

+ Bình phương của một hiệu: $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

+ Hiệu hai bình phương: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.

+ Lập phương của một tổng: $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$.

+ Lập phương của một hiệu: $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$.

+ Tổng hai lập phương: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.

+ Hiệu hai lập phương: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.

2. Hệ thống hằng đẳng thức mở rộng

Để giải quyết các dạng toán nâng cao, người học cần nắm vững các dạng khai triển đa biến bậc cao.

Điển hình là các hằng đẳng thức bình phương của một tổng ba biến và các biến thể dấu của chúng:

+ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$.

+ $(a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca$.

+ $(a-b-c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca$.

+ $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^c+3(a+b)(b+c)(c+a)$.

3. Các dạng đặc biệt thường dùng

+ $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.

+ $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$.

+ $a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 - 2ab + 2b^2)$.

II. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP

Dạng 1. Vận dụng hằng đẳng thức để chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải

Để chứng minh một đẳng thức đại số, ta vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo các kĩ thuật sau:

⚡Biến đổi một vế: Khai triển vế phức tạp để đưa về vế đơn giản ($VT = \dots = VP$), biến đổi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian thứ ba, hoặc chứng minh hiệu hai vế bằng $0$ ($VT - VP = 0$).

⚡Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức mở rộng: Sử dụng các khai triển như $(x+y+z)^2$, hằng đẳng thức Euler $a^3+b^3+c^3-3abc$... kết hợp với việc nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung.

⚡Khai thác giả thiết:
    + Phương pháp thế: Rút một biến từ giả thiết rồi thế vào biểu thức cần chứng minh.
    + Phương pháp lũy thừa: Bình phương hoặc lập phương hai vế của giả thiết để làm xuất hiện các cụm biểu thức có trong kết luận.
    + Thay ngược: Thay trực tiếp giả thiết vào một hằng đẳng thức liên quan để triệt tiêu vế.

Ví dụ 1. Cho $x^2=y^2+z^2$. Chứng minh rằng: $(5x-3y+4z)(5x-3y-4z)=(3x-5y)^2$.

Lời giải

Ta chọn hướng biến đổi vế trái ($VT$), kết hợp với việc khai thác điều kiện đề bài:

$VT = (5x-3y+4z)(5x-3y-4z)$

$VT = \Big[(5x-3y)+4z\Big]\Big[(5x-3y)-4z\Big]$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:

$VT = (5x-3y)^2 - (4z)^2$

$VT = 25x^2 - 30xy + 9y^2 - 16z^2$

Theo giả thiết đề bài, ta có $x^2=y^2+z^2 \Rightarrow z^2 = x^2-y^2$. Thế điều kiện này vào biểu thức:

$VT = 25x^2 - 30xy + 9y^2 - 16(x^2-y^2)$

$VT = 25x^2 - 30xy + 9y^2 - 16x^2 + 16y^2$

$VT = 9x^2 - 30xy + 25y^2$

$VT = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2$

$VT = (3x-5y)^2 = VP$ (điều phải chứng minh).

Dạng 2. Vận dụng hằng đẳng thức, tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

Để tính giá trị biểu thức đại số, ta tuyệt đối hạn chế thay số trực tiếp ngay từ đầu mà thường chia làm 2 hướng tiếp cận chính:

⚡ Hướng 1: Biến đổi biểu thức cần tính
    + Sử dụng các hằng đẳng thức để thu gọn, phân tích biểu thức thành nhân tử nhằm làm xuất hiện các cụm điều kiện giống với giả thiết.
    + Sử dụng phương pháp rút thế: Rút một biến hoặc cụm biến từ giả thiết rồi thế trực tiếp vào biểu thức cần tính để làm triệt tiêu các hạng tử.

⚡ Hướng 2: Biến đổi giả thiết về dạng đặc biệt
    + Đưa giả thiết về dạng biểu thức đối xứng (tổng $S = x+y$ và tích $P = xy$). Từ đó dễ dàng tính các đại lượng như $x^2+y^2$, $x^3+y^3$,...
    + Vận dụng các hằng đẳng thức đặc biệt trực tiếp lên giả thiết như $a^3+b^3+c^3=3abc$, $a+b+c=0$...Sau đó mới thay vào biểu thức cần tính.

Ví dụ 2. Cho $x - y = 11$. Tính giá trị của biểu thức $M = x^3 - 3xy(x - y) - y^3 - x^2 + 2xy - y^2$.

Lời giải

$M = (x^3 - 3xy(x - y) - y^3) - (x^2 - 2xy + y^2)$

$M = (x - y)^3 - (x - y)^2$

Thay điều kiện $x - y = 11$ vào biểu thức $M$ đã thu gọn, ta được:

$M = 11^3 - 11^2 = 1\,331 - 121 = 1\,210$.

Vậy $M = 1\,210$.

Dạng 3. Vận dụng hằng đẳng thức, tìm GTLN - GTNN của đa thức

Phương pháp giải

⚡ Thêm bớt, nhóm các hạng tử hoặc biến đổi giả thiết (nếu có) để đưa biểu thức về dạng tổng của bình phương các đa thức và một hằng số tự do $k$.

⚡ Vận dụng tính chất $\Big(P(x)\Big)^2 \geq 0$ với mọi $x$. Sau đó chỉ ra điều kiện xảy ra dấu "$=$".

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^2 + 2y^2 - 2xy + 4x - 6y + 10$.

Lời giải

$P = (x^2 - 2xy + 4x) + 2y^2 - 6y + 10$

$P = \Big[x^2 - 2x(y - 2) + (y - 2)^2\Big] - (y - 2)^2 + 2y^2 - 6y + 10$

$P = (x - y + 2)^2 - (y^2 - 4y + 4) + 2y^2 - 6y + 10$

$P = (x - y + 2)^2 + y^2 - 2y + 6$

Tiếp tục tạo hằng đẳng thức cho nhóm biến $y$ còn lại:

$P = (x - y + 2)^2 + (y^2 - 2y + 1) + 5$

$P = (x - y + 2)^2 + (y - 1)^2 + 5$

Vì $(x - y + 2)^2 \ge 0$ và $(y - 1)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$.

Nên $P \ge 5$ với mọi $x, y$.

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi: $\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5$ khi $x = -1$ và $y = 1$.