CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI

PHẦN I. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. HÀM SỐ BẬC NHẤT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa:

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b$ trong đó $a$ và $b$ là các số thực cho trước và $a \ne 0$.

- Khi $b = 0$ thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số $y = ax$, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa $y$ và $x$.

2. Tính chất:

a) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$.

b) Trên tập số thực, hàm số $y = ax + b$ đồng biến khi $a > 0$ và nghịch biến khi $a < 0$.

3. Đồ thị hàm số $y = ax + b$ với $a \ne 0$:

- Đồ thị hàm số $y = ax + b$ là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\dfrac{b}{a}$.

- $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$.

4. Cách vẽ đồ thị hàm số $y = ax + b$:

- Xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

- Thường vẽ đường thẳng đi qua hai giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là $A\Big(-\dfrac{b}{a}; \, 0\Big)$ và $B(0; \, b)$.

- Chú ý: Đường thẳng đi qua $M(m; \, 0)$ và song song với trục tung có phương trình là $x - m = 0$; đường thẳng đi qua $N(0; \, n)$ và song song với trục hoành có phương trình là $y - n = 0$.

5. Kiến thức bổ sung:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm $A(x_1; \, y_1)$ và $B(x_2; \, y_2)$. Ta có khoảng cách $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Nếu điểm $M(x; \, y)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì tọa độ của $M$ là: $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}; \, y = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$.

6. Điều kiện để hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc:

Cho hai đường thẳng $(d_1): y = ax + b$ và $(d_2): y = a'x + b'$ với $a, \, a' \ne 0$.

- $(d_1)$ // $(d_2) \Leftrightarrow a = a'$ và $b \ne b'$.

- $(d_1) \equiv (d_2) \Leftrightarrow a = a'$ và $b = b'$.

- $(d_1)$ cắt $(d_2) \Leftrightarrow a \ne a'$.

- $(d_1) \perp (d_2) \Leftrightarrow a \cdot a' = -1$.

Chú ý: Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục hoành $Ox$. Nếu $a > 0$ thì $\tan \varphi = a$.

II. HÀM SỐ BẬC HAI

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) xác định với mọi số thực $x$.

Tính chất biến thiên:

- Nếu $a > 0$ thì hàm số đồng biến khi $x > 0$, nghịch biến khi $x < 0$.

- Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$, nghịch biến khi $x > 0$.

Đồ thị hàm số là một đường parabol nhận gốc tọa độ $O$ làm đỉnh và nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi $a > 0$ thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi $a < 0$ thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y = x^2$. Trên $(P)$ lấy hai điểm $A(-1; \, 1)$ và $B(3; \, 9)$.

a) Tính diện tích tam giác $OAB$.

b) Xác định điểm $C$ thuộc cung nhỏ $AB$ của $(P)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

Lời giải:

a) Gọi $y = ax + b$ là phương trình đường thẳng $AB$.

Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} a \cdot (-1) + b = 1 \\ a \cdot 3 + b = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}$.

Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là $(d): y = 2x + 3$. Đường thẳng $AB$ cắt trục $Oy$ tại điểm $I(0; \, 3)$.

Kẻ $AH \perp Oy$ và $BK \perp Oy$. Diện tích tam giác $OAB$ là:

$S_{OAB} = S_{OAI} + S_{OBI} = \dfrac{1}{2}AH \cdot OI + \dfrac{1}{2}BK \cdot OI$.

Ta có: $AH = 1; \, BK = 3; \, OI = 3$. Suy ra $S_{OAB} = 6$ (đvdt).

b) Giả sử $C(c; \, c^2)$ thuộc cung nhỏ $AB$ của $(P)$ với $-1 < c < 3$. Kẻ $AA', BB', CC'$ vuông góc với $Ox$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC} = S_{ABB'A'} - S_{ACC'A'} - S_{BCC'B'}$.

Các tứ giác $ABB'A', \, ACC'A', \, BCC'B'$ đều là hình thang vuông. Ta có:

$S_{ABC} = \dfrac{1 + 9}{2} \cdot 4 - \dfrac{1 + c^2}{2} \cdot (c + 1) - \dfrac{9 + c^2}{2} \cdot (3 - c) = 8 - 2(c - 1)^2 \le 8$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất bằng $8$ (đvdt) khi $C(1; \, 1)$.

III. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Công thức nghiệm phương trình bậc hai:

Đối với phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$), ta có biệt thức: $\Delta = b^2 - 4ac$.

- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$.

- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \, x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Công thức nghiệm thu gọn:

Khi $b = 2b'$, ta xét $\Delta' = b'^2 - ac$. Khi đó:

- Nếu $\Delta' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x = -\dfrac{b'}{a}$.

- Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}; \, x_2 = \dfrac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$.

2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai:

Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm, thông thường ta chứng minh $\Delta \ge 0$ dựa trên các kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng $(Ax + B)^2 \ge 0$, sử dụng kiến thức về bất đẳng thức, bất phương trình, hoặc các tính chất đặc biệt của tam thức bậc hai.

Ngoài kiến thức SGK, ta cần nắm thêm bổ đề quan trọng:

- Mọi tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a \ne 0$ đều có thể phân tích thành dạng: $f(x) = a\Big(x + \dfrac{b}{2a}\Big)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}$ với $\Delta = b^2 - 4ac$.

- Để chứng minh một phương trình bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) có nghiệm, ngoài cách chứng minh $\Delta \ge 0$, ta có thể "chỉ ra số thực $\alpha$ sao cho $a \cdot f(\alpha) \le 0$ hoặc hai số thực $\alpha, \, \beta$ sao cho $f(\alpha) \cdot f(\beta) \le 0$".

Điều này được giải thích như sau:

+ Nếu $a \cdot f(\alpha) = a^2\left[\Big(\alpha + \dfrac{b}{2a}\Big)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right] \le 0 \Rightarrow \Big(\alpha + \dfrac{b}{2a}\Big)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \le 0 \Rightarrow \dfrac{\Delta}{4a^2} \ge \Big(\alpha + \dfrac{b}{2a}\Big)^2 \ge 0 \Rightarrow \Delta \ge 0$, suy ra phương trình có nghiệm.

+ Nếu $f(\alpha) \cdot f(\beta) \le 0 \Rightarrow a^2 \cdot f(\alpha) \cdot f(\beta) \le 0$, tức là trong hai số $a \cdot f(\alpha)$ và $a \cdot f(\beta)$ sẽ có ít nhất một số không dương. Từ đó quy về trường hợp trên $\Rightarrow$ phương trình có nghiệm.

Ví dụ 2. Cho phương trình: $(m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + (m - 3) = 0 \quad (1)$.

a) Giải phương trình $(1)$ khi $m = 2$.

b) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có nghiệm kép.

c) Tìm $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

a) Với $m = 2$, ta có phương trình: $x^2 - 6x - 1 = 0$.

Ta có: $\Delta' = (-3)^2 - 1 \cdot (-1) = 10$, nên phương trình có hai nghiệm là: $x_1 = 3 - \sqrt{10}$ và $x_2 = 3 + \sqrt{10}$.

b) Phương trình $(1)$ có nghiệm kép khi và chỉ khi:

$\begin{cases} m - 1 \ne 0 \\ \Delta' = (m + 1)^2 - (m - 1) \cdot (m - 3) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 1 \\ 6m - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$.

c) Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$\begin{cases} m - 1 \ne 0 \\ \Delta' = (m + 1)^2 - (m - 1) \cdot (m - 3) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 1 \\ 6m - 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > \dfrac{1}{3} \\ m \ne 1 \end{cases}$.

IV. VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TÌM GTLN, GTNN

Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{mx^2 + nx + p}$ với điều kiện mẫu thức $mx^2 + nx + p > 0, \, \forall x$.

Phương pháp:

Gọi $y_0$ là một giá trị của biểu thức. Khi đó:

$y_0 = \dfrac{ax^2 + bx + c}{mx^2 + nx + p} \Leftrightarrow (y_0m - a)x^2 + (y_0n - b)x + (y_0p - c) = 0 \quad (*)$.

Ta xét hai trường hợp:

- Nếu $y_0m - a = 0 \Leftrightarrow y_0 = \dfrac{a}{m}$, thay vào $(*)$ để tìm $x$, suy ra $y_0 = \dfrac{a}{m}$ là một giá trị có thể đạt được.

- Nếu $y_0m - a \ne 0 \Leftrightarrow y_0 \ne \dfrac{a}{m}$ thì $(*)$ là phương trình bậc hai ẩn $x$. Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$. Giải bất phương trình này ta tìm được tập giá trị của $y_0$. Từ đó chỉ ra GTLN, GTNN của biểu thức.

Chú ý bổ sung: Ta có $a \cdot f(x) = a^2\Big(x + \dfrac{b}{2a}\Big)^2 - \dfrac{\Delta}{4}$. Từ đó suy ra, nếu $\Delta \le 0$ thì $a \cdot f(x) \ge 0$, tức là $a$ và $f(x)$ luôn cùng dấu. Một kết quả quan trọng: Nếu tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ có $a > 0, \, \Delta \le 0$ thì $f(x) \ge 0, \, \forall x$.

Ví dụ 3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $y = \dfrac{x^2}{x^2 - 5x + 7}$.

Lời giải:

Ta có $x^2 - 5x + 7 = \Big(x - \dfrac{5}{2}\Big)^2 + \dfrac{3}{4} > 0, \, \forall x$, suy ra biểu thức $y$ luôn xác định. Gọi $y_0$ là một giá trị của biểu thức, ta có phương trình:

$y_0(x^2 - 5x + 7) = x^2 \Leftrightarrow (y_0 - 1)x^2 - 5y_0x + 7y_0 = 0 \quad (*)$

- Nếu $y_0 = 1 \Rightarrow -5x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{5}$. Vậy $y_0 = 1$ là một giá trị thỏa mãn.

- Nếu $y_0 \ne 1$, $(*)$ là phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi:

$\Delta = 25y_0^2 - 4(y_0 - 1) \cdot 7y_0 \ge 0 \Leftrightarrow -3y_0^2 + 28y_0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le y_0 \le \dfrac{28}{3}$.

- Vậy GTNN của $y$ là $0$, đạt được khi $x = -\dfrac{-5y_0}{2(y_0 - 1)} = 0$.

- GTLN của $y$ là $\dfrac{28}{3}$, đạt được khi $x = \dfrac{5 \cdot \frac{28}{3}}{2\Big(\frac{28}{3} - 1\Big)} = \dfrac{14}{5}$.

V. CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khi biện luận số giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P): y = ax^2$, ta cần chú ý:

a) Nếu đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = m$ (song song với trục $Ox$), ta xét nghiệm của phương trình $ax^2 = m$.

b) Nếu đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = mx + n$, ta xét phương trình hoành độ giao điểm: $ax^2 = mx + n \Leftrightarrow ax^2 - mx - n = 0$. Biện luận số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình (thông qua dấu của $\Delta$).

Nếu $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, \, B$ thì tọa độ là $A(x_1; \, mx_1 + n)$ và $B(x_2; \, mx_2 + n)$.

Khoảng cách $AB$ được tính bởi: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + m^2(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{(m^2 + 1)[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2]}$. Ta sử dụng định lí Viète để tính toán biểu thức này.

Chú ý: Đường thẳng $(d)$ có hệ số góc $a$ đi qua điểm $M(x_0; \, y_0)$ sẽ có phương trình dạng: $y = a(x - x_0) + y_0$.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): y = (2m + 1)x - (m^2 + m)$ và parabol $(P): y = x^2$.

a) Khi $m = 1$, tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, \, x_2$ sao cho $\sqrt{2x_1} + 1 = x_2$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$x^2 = (2m + 1)x - m^2 - m \Leftrightarrow x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0$.

a) Khi $m = 1$, phương trình trở thành: $x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 1 \\ x = 2 \end{bmatrix}$.

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$; với $x = 2 \Rightarrow y = 4$. Vậy $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A(1; \, 1)$ và $B(2; \, 4)$.

b) Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt, điều kiện là $\Delta > 0$:

$\Delta = (2m + 1)^2 - 4(m^2 + m) = 1 > 0$ (luôn đúng với mọi $m$).

Vậy $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, \, x_2$. Ta giải trực tiếp phương trình hoành độ giao điểm:

$x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0 \Leftrightarrow (x - m)(x - m - 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = m \\ x = m + 1 \end{bmatrix}$.

TH1: $x_1 = m, \, x_2 = m + 1$. Thay vào điều kiện đề bài ta có:

$\sqrt{2m} + 1 = m + 1 \Leftrightarrow \sqrt{2m} = m \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge 0 \\ m^2 - 2m = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} m = 0 \\ m = 2 \end{bmatrix}$.

Kiểm tra lại ta thấy cả hai giá trị $m$ đều thỏa mãn.

TH2: $x_1 = m + 1, \, x_2 = m$. Thay vào điều kiện đề bài ta có:

$\sqrt{2(m + 1)} + 1 = m \Leftrightarrow \sqrt{2(m + 1)} = m - 1 \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge 1 \\ m^2 - 4m - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge 1 \\ (m - 2)^2 = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge 1 \\ m = 2 \pm \sqrt{5} \end{cases}$.

Đối chiếu điều kiện, ta lấy $m = 2 + \sqrt{5}$.

Vậy $m \in \{0; \, 2; \, 2 + \sqrt{5}\}$ là các giá trị cần tìm.