Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Góc tạo bởi đường thẳng $d:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x+4y+5z+3=0$ bằng bao nhiêu độ?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ có các đỉnh lần lượt là $S(0;0;2a)$; $A(0; 0; 0)$; $B(a; 0; 0)$; $C(a;a;0)$; $D(0; 2a; 0)$, với $a>0$.

Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng

Cho $M (-3; -1; 3)$ và $N (-1; 0; 2)$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + z + 4 = 0$. Góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu độ?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-2} =\dfrac{z+1}{-1}$ và $d_2: \left\{ \begin{aligned} &y=t \\& y=0 \\&z=-2 \end{aligned} \right.$. Mặt phẳng $(P)$ qua $d_1$ tạo với $d_2$ một góc $45^\circ$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(1;b;c)$ là một vectơ pháp tuyến. Khi đó, tích $b.c$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\,x-y+3z-6=0$và đường thẳng $(\Delta ):\,\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+1}{1}$. Xét $(d)$ là đường thẳng thay đổi đi qua $M(1;-2;1)$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $(P):x-y+\sqrt{2}z+2\,024=0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}$ và $d_2:\left\{ \begin{aligned}& x=t \\& y=0 \\& z=-t \end{aligned} \right.$. Phương trình mặt phẳng $(P )$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc $45^\circ$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):2x-2y+z+1=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned} & x=1-t \\& y=t \\& z=1+2t \end{aligned} \right.$. Một phương trình của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(0;-1;1 )$, cắt $d$ và tạo với mặt phẳng$(P)$ một góc $\alpha$ sao cho $\sin \alpha =\dfrac{1}{12}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(0;1;-2 )$, $B(1;2;-1 )$ và mặt phẳng $(P ):x+y-z+2\,007=0$. Khi đó giá trị $\sin$ của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng