Đường tròn và tính đối xứng của đường tròn

a) Vẽ đường tròn $(C;2$ cm$)$

b) Đường tròn $(O;2$ cm$)$ và $(A;2$ cm$)$ cắt nhau tại $C$, $D$, điểm $A$ nằm trên đường tròn tâm $O$ nên:

$OC=OD=2$ cm, $AC=AD=2$ cm.

Suy ra $OC=CA=2$ cm.

Do đó đường tròn $(C;2$ cm$)$ đi qua hai điểm $O$ và $A$.

a) Ta có $\Delta OAB$ cân tại $O$ vì $OA=OB=R$.

Mà $M$ là trung điểm của $AB$ nên $OM$ là đường trung tuyến của tam giác $OAB$.

Khi đó $OM$ cũng là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

b) Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$ chính là đoạn thẳng $OM$.

$M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM=\dfrac{AB}{2}=4$ cm. 

Xét $\Delta OAM$ vuông tại $M$, có $O{{A}^{2}}=A{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}$ (định lí Pythagore).

Suy ra $OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm.

a) Điểm $B$ cố định. Điểm $A$ cách $B$ một khoảng là $4$ cm nên $A$ nằm trên đường tròn $(B;4$ cm$)$.

b) Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ thì $O$ là một điểm cố định.

Ta có $OM=\dfrac{1}{2}AB=2$ cm.

Điểm $M$ cách điểm $O$ một khoảng $2$ cm nên $M$ nằm trên đường tròn $(O;2$ cm$)$.

a) Do $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ nên điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua tâm $O$ phải vừa thuộc $OM$, vừa thuộc $\left(O \right)$.

Vậy $N$ là giao điểm của đường thẳng $OM$ với $(O)$.

b) Do $AB$ là trục đối xứng của $(O)$ nên điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $AB$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$.

Vậy $P$ là giao điểm của $(O)$ với đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$.

a) Hai đường tròn $(A; 6$ cm$)$ và $(B;4$ cm$)$ cắt nhau tại $C$ và $D$ nên $AC=AD=6$ cm, $BC=BD=4$ cm.

b) $AB=8$ cm, $BC=BD=BI=4$ cm.

Suy ra $AI=AB-IB=8-4=4$ cm.

Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

c) Ta có: $AK=AC=6$ cm nên $IK=AK-AI=6-4=2$ cm.

Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $OA=OB=OC=OD$, suy ra các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên một đường tròn tâm $O$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{9}^{2}}}=\sqrt{117}$.

Vậy bán kính $R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{117}}{2}$.

a) Từ giả thiết, ta có $\dfrac{O{A}'}{OA}=\dfrac{r}{{{R}'}}$;

$\dfrac{O{B}'}{OB}=\dfrac{r}{{{R}'}}$.

Suy ra $\dfrac{O{A}'}{OA}=\dfrac{O{B}'}{OB}$.

b) Vì $\dfrac{O{A}'}{OA}=\dfrac{O{B}'}{OB}$ nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

$AB$ // ${A}'{B}'$.

Tam giác $OAC$ có ba cạnh bằng nhau $\left(AC=OA=OC \right)$ nên là tam giác đều

Suy ra $ \widehat{A}=\widehat{C_1}=\widehat{O_1}=60^\circ$.

Ta có: $OAC$ có $OB=OC$ nên cân tại $O$ suy ra $\widehat{B}=\widehat{C_2}$;

$\widehat{O_1}$ là góc ngoài của $\Delta OBC$.

Do đó $\widehat{O_1}=\widehat{B}+\widehat{C_2}=2\widehat{B}=2\widehat{C_2}$

$\widehat{B}=\widehat{C_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{O_1}=30^\circ$

$\widehat{ACB}=\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=90^\circ$

Vậy $\widehat{A}=60^\circ; \, \widehat{B}=30^\circ; \, \widehat{C}=90^\circ$.

$\Delta CAB$ có trung tuyến $CO$ bằng nửa cạnh đối xứng $AB$ nên vuông tại $C$ với $\widehat{ACB}=90^\circ$

Suy ra $\widehat{A}=60^\circ$ và $\widehat{B}=30^\circ$

Vậy $\Delta ABC$ có $\widehat{C}=90^\circ; \, \widehat{A}=60^\circ; \, \widehat{B}=30^\circ$.