ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TÌM KHOẢNG CÁCH LỚN NHẤT

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Phương pháp tìm điểm cố định: Cho họ đường thẳng $(d_m): y = f(x, m)$ phụ thuộc vào tham số $m$. Điểm $M(x_0; y_0)$ được gọi là điểm cố định mà $(d_m)$ luôn đi qua nếu tọa độ của $M$ thỏa mãn phương trình với mọi $m$. Ta biến đổi phương trình về dạng $A \cdot m + B = 0 \forall m$, ta có hệ $A = 0$ và $B = 0$.

2. Khoảng cách lớn nhất (Max): Cho điểm $A$ cố định và họ đường thẳng $(d_m)$ luôn quay quanh điểm cố định $M$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(d_m)$, khi đó $AH$ chính là khoảng cách từ $A$ đến $(d_m)$. Trong tam giác vuông $AHM$, cạnh góc vuông bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền, tức là $AH \le AM$.
⚡ Kết luận: Khoảng cách từ $A$ đến $(d_m)$ đạt giá trị lớn nhất chính bằng đoạn thẳng $AM$. Dấu bằng xảy ra khi $H \equiv M$, tức là đường thẳng $(d_m)$ vuông góc với đường thẳng $AM$.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Kỹ năng tìm tọa độ điểm cố định của họ đường thẳng

Phương pháp giải:

Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định. Thay $(x_0; y_0)$ vào phương trình đường thẳng, khai triển và gom nhóm các hạng tử chứa tham số $m$ để đưa về dạng $A \cdot m + B = 0$. Giải hệ $A = 0$ và $B = 0$ để tìm tọa độ $(x_0; y_0)$.

Ví dụ 1. Tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường thẳng $(d_m): y = mx - 3m + 4$ luôn đi qua với mọi giá trị của $m$.

Lời giải:

Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định mà $(d_m)$ luôn đi qua với mọi $m$. Khi đó ta có:

$y_0 = mx_0 - 3m + 4 \quad \forall m$

$m(x_0 - 3) + (4 - y_0) = 0 \quad \forall m$

Để đẳng thức trên luôn đúng với mọi $m$, ta có hệ điều kiện:

$\begin{cases} x_0 - 3 = 0 \\ 4 - y_0 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x_0 = 3 \\ y_0 = 4 \end{cases}$

Vậy họ đường thẳng $(d_m)$ luôn quay quanh một điểm cố định là $M(3; 4)$.

Dạng 2. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(d_m)$ lớn nhất

⚡Bước 1: Tìm tọa độ điểm cố định $M$ của họ đường thẳng $(d_m)$.

⚡ Bước 2: Lập luận: Khoảng cách lớn nhất bằng $OM$ khi $(d_m) \perp OM$.

⚡ Bước 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng $OM$. Sau đó dùng điều kiện vuông góc (tích hai hệ số góc bằng $-1$) để giải ra $m$.

Ví dụ 2. Cho họ đường thẳng $(d_m): y = (m-1)x + 2$. Tìm giá trị của $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0; 0)$ đến $(d_m)$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Trước tiên, ta tìm điểm cố định của $(d_m)$. Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định:

$y_0 = (m-1)x_0 + 2$

$m \cdot x_0 - x_0 - y_0 + 2 = 0 \quad \forall m$

$\begin{cases} x_0 = 0 \\ -x_0 - y_0 + 2 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 = 2 \end{cases}$

Vậy $(d_m)$ luôn đi qua điểm cố định $M(0; 2)$ nằm trên trục tung.

Khoảng cách lớn nhất từ $O$ đến $(d_m)$ bằng $OM = 2$, đạt được khi $(d_m) \perp OM$. Vì $OM$ chính là trục tung $Oy$, nên $(d_m)$ phải vuông góc với trục $Oy$, hay $(d_m)$ song song với trục hoành $Ox$.

Điều kiện để đường thẳng song song với trục hoành là hệ số góc bằng $0$:

$m - 1 = 0$

$m = 1$

Vậy với $m = 1$ thì khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $(d_m)$ đạt lớn nhất là $2$.

Dạng 3. Khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ đến $(d_m)$ lớn nhất

Phương pháp giải:

Cách làm hoàn toàn tương tự Dạng 2. Gọi đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $M$ có dạng $y = ax + b$. Lần lượt thay tọa độ của điểm $A$ và điểm $M$ vào phương trình để giải hệ tìm hệ số góc $a$. Sau đó sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc (tích hai hệ số góc bằng $-1$) để tìm $m$.

Ví dụ 3. Cho điểm $A(-1; 2)$ và đường thẳng $(d_m): y = (m+1)x - 2m + 1$. Tìm $m$ để khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $(d_m)$ là lớn nhất.

Lời giải:

Gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm cố định của $(d_m)$. Ta có:

$y_0 = (m+1)x_0 - 2m + 1 \quad \forall m$

$m(x_0 - 2) + (x_0 - y_0 + 1) = 0 \quad \forall m$

$\begin{cases} x_0 - 2 = 0 \\ x_0 - y_0 + 1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x_0 = 2 \\ y_0 = 3 \end{cases}$

Vậy $(d_m)$ luôn đi qua $M(2; 3)$.

Đường thẳng $AM$ đi qua hai điểm $A(-1; 2)$ và $M(2; 3)$ có dạng $y = ax + b$. Thay tọa độ $A$ và $M$ vào, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} -a + b = 2 \\ 2a + b = 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 3a = 1 \\ b = 2 + a \end{cases}$

$\begin{cases} a = \dfrac{1}{3} \\ b = \dfrac{7}{3} \end{cases}$

Đường thẳng $AM$ có hệ số góc là $a = \dfrac{1}{3}$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(d_m)$ đạt giá trị lớn nhất khi $(d_m) \perp AM$. Điều kiện là tích hai hệ số góc bằng $-1$:

$(m+1) \cdot \dfrac{1}{3} = -1$

$m + 1 = -3$

$m = -4$

Vậy với $m = -4$ thì khoảng cách từ $A$ đến $(d_m)$ đạt giá trị lớn nhất.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $(d): y = (2m - 1)x + m - 3$ đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó.

Bài 2. Cho điểm $A(1; -1)$ và họ đường thẳng $\Delta_m: y = mx + m + 2$. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng và xác định $m$ để khoảng cách từ $A$ đến $\Delta_m$ là lớn nhất.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): y = -mx + 2m - 1$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ lên $(d)$. Tìm $m$ để độ dài đoạn thẳng $OH$ lớn nhất.