Quay lại giao diện cũ
Nội dung đề thi (120 phút)
a) Tìm số $x$ không âm, biết $\sqrt{x}=2$.
b) Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức $A=\sqrt{4.5}-\sqrt{9.5}+\sqrt{5}$
c) Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}$ với $x>0, y>0$.
Hướng dẫn giải
a) Vì $x$ không âm nên $\sqrt{x}=2 \Leftrightarrow x=2^{2}=4$
b) $A=\sqrt{4.5}-\sqrt{9.5}+\sqrt{5}$
$
\begin{aligned}
&A=\sqrt{2^{2} \cdot 5}-\sqrt{3^{2} \cdot 5}+\sqrt{5} \\
&A=2 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+\sqrt{5} \\
&A=0
\end{aligned}
$
c)
$
\begin{aligned}
&P=\dfrac{x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \\
&P=\dfrac{(\sqrt{x})^{3}+(\sqrt{y})^{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-(x-2 \sqrt{x} \sqrt{y}+y) \\
&P=\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})\left(\sqrt{x}^{2}-\sqrt{x} \sqrt{y}+\sqrt{y}^{2}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-x+2 \sqrt{x} \sqrt{y}-y \\
&P=x-\sqrt{x} \sqrt{y}+y-x+2 \sqrt{x} \sqrt{y}-y \\
&P=\sqrt{x y}
\end{aligned}
$
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3 x+y=1 \\ x-2 y=5\end{array}\right.$
b) Viết phương trình đường thẳng $(d): y=a x+b$ $ (a \neq 0)$, biết rằng đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $\left(d^{\prime}\right): y=2 x-1$ và đi qua điểm $M(2 ;-3)$.
Hướng dẫn giải
a) $\left\{\begin{array}{l}3 x+y=1 \\ x-2 y=5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x+y=1 \\ x=2 y+5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3(2 y+5)+y=1 \\ x=2 y+5\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6 y+15+y=1 \\ x=2 y+5\end{array}\right.\right.\right.\right.$
$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ 7 y = - 1 4 } \\
{ x = 2 y + 5 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
y=-2 \\
x=2 \cdot(-2)+5=1
\end{array}\right.\right.
$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(1 ;-2)$
b) Vì $(d) / /\left(d^{\prime}\right) \Rightarrow a=2, b \neq-1$
$
\Rightarrow(d): y=2 x+b
$
Vì $(d)$ qua điểm $M(2 ;-3)$ nên ta có: $-3=2.2+b \Leftrightarrow b=-7$ $\Rightarrow(d): y=2 x-7$
Để phục vụ cho công tác phòng chống dịch COVID-19, một công ty $A$ lên kế hoạch trong một thời gian quy định làm 20000 tấm chắn bảo hộ để tặng các chốt chống dịch. Do ý thức khẩn trương trong công tác hỗ trợ chống dịch và nhờ cải tiến quy trình làm việc nên mỗi ngày công ty $A$ làm được nhiều hơn 300 tấm so với kế hoạch ban đầu. Vì thế công ty $A$ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn đúng một ngày so với thời gian quy định và làm được nhiều hơn 700 tấm so với kế hoạch ban đầu. Biết rằng số tấm làm ra trong mỗi ngày là bằng nhau và nguyên cái. Hỏi theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày công ty $A$ cần làm bao nhiêu tấm chắn bảo hộ?
Hướng dẫn giải
Gọi $x$ là số tấm chắn bảo hộ làm trong 1 ngày theo kế hoạch $\left(x \in \mathbb{N}^{*}, x<20000\right)$
Số ngày làm tấm chắn xong theo kế hoạch là: $\dfrac{20000}{x}$ (ngày)
Số tấm chắn làm được thực tế trong 1 ngày là: $x+300$ (tấm)
Số ngày làm thực tế là: $\dfrac{20000}{x}-1$ (ngày)
Số tấm chắn làm được thực tế là: $(x+300) \cdot\left(\dfrac{20000}{x}-1\right)$
Theo đề ra ta có phương trình:
$
\begin{aligned}
&(x+300) \cdot\left(\dfrac{20000}{x}-1\right)=20000+700 \\
&\Leftrightarrow 20000-x+\dfrac{600000}{x}-300=20700 \\
&\Leftrightarrow-x-1000+\dfrac{600000}{x}=0 \\
&\Leftrightarrow-x^{2}-1000 x+600000=0 \\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=2000 & (N) \\
x=-3000 & (L)
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Vậy theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày công ty $\mathrm{A}$ cần làm 2000 tấm chắn bảo hộ.
Cho phương trình $x^{2}-3 x+m=0$ (1) ( $x$ là ẩn số).
a) Giải phương trình (1) khi $m=2$.
b) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình (1) có nghiệm.
c) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình (1) có nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn đẳng thức:
$x_{1}^{3} x_{2}+x_{1} x_{2}^{3}-2 x_{1}^{2} x_{2}^{2}=5$
Hướng dẫn giải
a) Với $m=2$, phương trình (1) trở thành: $x^{2}-3 x+2=0$.
Ta có: $a=1, b=-3, c=2 \Rightarrow a+b+c=1-3+2=0$
Suy ra phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm: $\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=2\end{array}\right.$
Vậy với $m=2$ thì phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm $x=1, x=2$.
b) Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow(-3)^{2}-4.1 . m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{9}{4}$.
c) Với $m \leq \frac{9}{4}$ thì phương trình (1) có nghiệm
Theo hệ thức Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}S=x_{1}+x_{2}=3 \\ P=x_{1} \cdot x_{2}=m\end{array}\right.$
Theo đề ta có:
$
\begin{aligned}
&x_{1}^{3} x_{2}+x_{1} x_{2}^{3}-2 x_{1}^{2} x_{2}^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow x_{1} x_{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)-2\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow x_{1} x_{2}\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}\right]-2\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow m \cdot\left(3^{2}-2 m\right)-2 m^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow 9 m-2 m^{2}-2 m^{2}=5 \\
&\Leftrightarrow-4 m^{2}+9 m-5=0
\end{aligned}
$
Ta có: $a+b+c=-4+9-5=0$
Nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là $\left[\begin{array}{l}m=1 \\ m=\frac{5}{4}\end{array}\right.$ (thỏa)
Vậy $m=1$ và $m=\dfrac{5}{4}$ thì phương trình (1) có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Cho ba điểm $A, B, C$ phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Vẽ nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $A M$ đến nửa đường tròn $(O)$ ( $M$ là tiếp điểm). Trên cung $M C$ lấy điểm $E$ ( $E$ không trùng với $M$ và $C$ ), đường thẳng $A E$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $F(F$ không trùng $E$ ). Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $E F$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $B C$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $A M I O$ nội tiếp;
b) Hai tam giác $O F H$ và $O A F$ đồng dạng với nhau;
c) Trọng tâm $G$ của tam giác $O E F$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm $E$ thay đổi trên $M C$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $I$ là trung điểm dây $E F \Rightarrow O I \perp E F$ Xét tứ giác $A M I O$ ta có:
$
\widehat{A M O}=\widehat{A I O}=90^{\circ}
$
Hai góc cùng nhìn cạnh $O A$
Nên $A M I O$ nội tiếp đường tròn đường kính $O A$
b) Xét $\triangle O M A$ vuông tại $M$ có $M H$ là đường cao
$\Rightarrow O M^{2}=O H . O A$
Mà $O M=O F$ (cùng bằng bán kính đường nửa đường tròn $(O)$
$\Rightarrow O F^{2}=O H . O A \Rightarrow \dfrac{O F}{O H}=\dfrac{O A}{O F}$
Xét $\triangle O F H$ và $\triangle O A F$
$\left\{\begin{array}{l}\widehat{O} \text { chung } \\ \dfrac{O F}{O A}=\dfrac{O H}{O F}\end{array} \Rightarrow \Delta O F H = \Delta O A F(c-g-c)\right.$
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $\triangle O E F$
$\Rightarrow O G=\dfrac{2}{3} O I$
Qua $G$ kẻ đường thẳng song song $A I$, đường thẳng này cắt $O A$ tại $K$ Theo định lý Ta-let ta có: $\dfrac{O K}{O A}=\dfrac{O G}{O I}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow O K=\dfrac{2}{3} O A$
Mà $O A$ cố định nên $O K$ cố định
Mà $\triangle O G K$ vuông tại $G$ (vì $G K / / A I, A I \perp O I$ )
Suy ra $G$ thuộc đường tròn đường kính $O K$ khi $E$ di chuyển trên cung $M C$.
Một khúc gỗ đặc có dạng hình trụ, bán kính hình tròn đáy là $10 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $20 \mathrm{~cm}$. Người ta tiện bỏ bên trong khúc gỗ một vật dạng hình nón có bán kính hình tròn đáy là $10 \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng một nửa chiều cao của khúc gỗ (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần khúc gỗ còn lại.
Hướng dẫn giải
Khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy $R=10 \mathrm{~cm}$ và chiều cao $h=20 \mathrm{~cm}$ nên có thể tích là:
$$
V_{trụ}=\pi R^{2} h=\pi \cdot 10^{2} \cdot 20=2000 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)
$$
Vật dạng hình nón có bán kính đáy $R=10 \mathrm{~cm}$ và chiều cao $h^{\prime}=\dfrac{1}{2} h=10 \mathrm{~cm}$ nên có thể tích là:
$$
V_{\text {nón }}=\dfrac{1}{3} \pi R^{2} h=\dfrac{1}{3} \pi \cdot 10^{2} \cdot 10=\dfrac{1000 \pi}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) \text {. }
$$
Thể tích phần khúc gỗ còn lại là:
$$
V=V_{\text {trụ }}-V_{\text {nón }}=2000 \pi-\dfrac{1000 \pi}{3}=\dfrac{5000 \pi}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) .
$$