Quay lại giao diện cũ
Đề thi tuyển sinh lớp 10 Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh năm 2020-2021
Cho parabol $(P)$: $y = \dfrac14 x^2$ và đường thẳng $(d):$ $y = -\dfrac12x + 2$.
a. Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng hệ trục tọa độ.
b. Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.
Hướng dẫn giải
a.
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ |
| $y = \dfrac14x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $x$ | $0$ | $4$ |
| $y = -\dfrac12x+2$ | $2$ | $0$ |
b.
Hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình:
$\dfrac14x^2 = -\dfrac12x + 2 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = 2 \\ & x = -4\\ \end{aligned}\right.$.
+ Với $x = 2 \Rightarrow y = 1$ ta có giao điểm $A(2;1)$.
+ Với $x = -4 \Rightarrow y = 4$ ta có giao điểm $B(-4;4)$.
Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $A(2;1)$ và $B(-4;4)$.
Cho phương trình: $2x^2 - 5x - 3 = 0$ có hai nghiệm là $x_1$, $x_2$.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A = (x_1 + 2x_2)(x_2 + 2x_1)$.
Hướng dẫn giải
Ta có $x_1$, $x_2$ là nghiệm của phương trình $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{aligned} & x_1+x_2 = \dfrac52\\ & x_1x_2 = -\dfrac32\\ \end{aligned}\right.$
$A = (x_1 + 2x_2)(x_2 + 2x_1)$
$= x_1x_2 + 2x_1^2+2x_2^2 + 4x_1x_2$
$= 2(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 + 5x_1x_2$
$= 2(x_1+x_2)^2 + x_1x_2$
$= 2.\left(\dfrac52\right)^2 + \left(-\dfrac32\right) = 11.$
Quy tắc sau đây cho ta biết CAN, CHI của năm X nào đó.
Để xác định CAN, ta tìm số dư $r$ trong phép chia X cho $10$ và tra vào bảng 1.
| $r$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| CAN | Canh | Tân | Nhâm | Quý | Giáp | Ất | Bính | Đinh | Mậu | Kỷ |
Để xác định CHI, ta tìm số dư $s$ trong phép chia X cho $12$ và tra vào bảng 2.
| $s$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ |
| CHI | Thân | Dậu | Tuất | Hợi | Tí | Sửu | Dần | Mẹo | Thìn | Tỵ | Ngọ | Mùi |
Ví dụ: năm $2020$ có CAN là Canh, CHI là Tí.
a. Em hãy sữ dụng quy tắc trên để xác định CAN, CHI của năm $2005$?
b. Bạn Hằng nhớ rằng Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế, hiệu là Quang Trung vào năm Mậu Thân nhưng không nhớ rõ đó là năm bao nhiêu mà chỉ nhớ là sự kiện trên xảy ra vào cuối thế kỉ $18$. Em hãy giúp Hằng xác định chính xác năm đó là năm bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
a. Ta có
$2005$ : $10 = 200$ dư $5 \Rightarrow$ CAN = "Ất".
$2005$ : $12 = 167$ dư $1\Rightarrow$ CHI = "Dậu".
Vậy năm $2005$ có CAN là "Ất" và CHI là "Dậu".
b.
Gọi $x$ là năm Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế.
Do $x$ thuộc cuối thế kỉ $18$ nên $1750 \le x \le 1799$.
+ Do CAN của $x$ là "Mậu" nên $x$ : $10$ dư $8$.
Suy ra hàng đơn vị của $x$ là $8$.
Suy ra $x$ là một trong các năm $1758$, $1768$, $1778$, $1788$, $1798$.
+ Do CHI của $x$ là "Thân" nên $x$ chia hết cho $12$.
Vậy chỉ có năm $1788$ thỏa mãn.
Vậy Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế năm $1788$.
Cước điện thoại $y$ (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả hàng tháng, nó phụ thuộc vào lượng thời gian gọi $x$ (phút) của người đó trong tháng. Mỗi liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất $y = ax + b$. Hãy tìm $a$, $b$ biết rằng nhà bạn Nam trong tháng 5 đã gọi $100$ phút với số tiền là $40$ nghìn đồng và trong tháng 6 gọi $40$ phút với số tiền là $28$ nghìn đồng.
Hướng dẫn giải
Theo đề ta có hệ phương trình $\left\{\begin{aligned} & 100a + b = 40\\ & 40a + b = 28\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & a =\dfrac15\\ & b = 20\\ \end{aligned}\right.$.
Vậy $a = \dfrac15$, $b = 20.$
Theo quy định của cửa hàng xe máy, để hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng, mỗi nhân viên phải bán được trung bình một chiếc xe máy trong một ngày. Nhân viên nào hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng thì nhận lương cơ bản là $8000000$ đồng. Nếu trong một tháng nhân viên nào vượt chỉ tiêu thì được thưởng thêm $8\%$ tiền lời của số xe được bán vượt chỉ tiêu đó. Trong tháng 5 (có 31 ngày), anh Thành nhận được số tiền là $9800000$ đồng (bao gồm cả lương cơ bản và tiền thưởng thêm tháng đó). Hỏi anh Thành đã bán được bao nhiêu chiếc xe máy trong tháng 5, biết rằng số xe bán ra thì cửa hàng thu được tiền lời được $2500000$ đồng.
Hướng dẫn giải
Gọi $x$ là số xe mà anh Thành bán được trong tháng 5.
Theo đề ta có phương trình
$8000000 + (x - 31) \times 8\% \times 2500000 = 9800000 \Leftrightarrow x = 40.$
Vậy anh Thành bán được $40$ chiếc.
|
Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình hộp chữ nhật kích thước $2m \times 2m \times 1m$. Hiện hồ chưa có nước nên anh Minh phải ra sông lấy nước. Mỗi lần ra sông anh gánh được 1 đôi nước đầy gồm hai thùng hình trụ bằng nhau có kích thước đáy $0,2m$, chiều cao $0, 4m$. a. Tính lượng nước ($m^3$) anh Minh đổ vào hồ sau mỗi lần gánh (ghi kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân). Biết trong quá trình gánh nước về hao hụt khoảng $10\%$ và công thức tính thể tích hình trụ là $V = \pi R^2h$. b. Hỏi anh Minh phải gánh ít nhất bao nhiêu lần để đầy hồ? Bỏ qua thể tích thành hồ. |
 |
Hướng dẫn giải
a. Thể tích hình trụ
$V_{\text{trụ}} = \pi R^2h = \pi.0,2^2.0,4 = 0,05 (m^3)$.
Lượng nước anh Minh đổ vào hồ trong mỗi lần gánh là
$V = 2.V_{\text{trụ}} \times 90\% = 0,09 (m^3)$.
b. Thể tích cái hồ là: $V = 2.2.1 = 4$.
Số lần gánh của anh Minh để đầy hồ là: $\dfrac4{0,09} = 44,4$.
Vậy anh Minh cần gánh ít nhất $45$ lần.
Sau buổi sinh hoạt ngoại khóa, nhóm bạn của Thư rủ nhau đi ăn kem ở một quán gần trường. Do quán mới khai trương nên có khuyến mãi, bắt đầu từ ly thứ $5$ giá mỗi ly kem giảm $1$ $500$ đồng so với giá ban đầu. Nhóm của Thư mua $9$ ly kem với số tiền là $154$ $500$ đồng. Hỏi giá của một ly kem ban đầu?
Hướng dẫn giải
Gọi $x$ (đồng) là giá ly kem ban đầu.
Theo giả thiết ta có phương trình: $4x + 5(x - 1$ $500) = 154$ $500$
$\Rightarrow 9x = 162$ $000 \rightarrow x = 18$ $000$ (đồng).
Vậy giá tiền của một ly kem là $18$ $000$ đồng.
(TP HCM - 2020)
Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA > 2R$. Từ $A$ kẻ 2 tiếp tuyến $AD;$ $AE$ đến đường tròn $(O)$ ($D$, $E$ là 2 tiếp điểm). Lấy điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $\overset{\frown}{DE}$ sao cho $MD > ME$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $M$ cắt $AD$; $AE$ lần lượt tại $I$; $J$. Đường thẳng $DE$ cắt $OJ$ tại $F$.
a. Chứng minh: $OJ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $ME$ và $\widehat{OMF} = \widehat{OEF}$.
b. Chứng minh: tứ giác $ODIM$ nội tiếp và 5 điểm $I$; $D$; $O$; $F$; $M$ cùng nằm trên một đường tròn.
c. Chứng minh $\widehat{JOM} = \widehat{IOA}$ và $\sin \widehat{IOA} = \dfrac{MF}{IO}$.
Hướng dẫn giải
a.
CMR: $OJ$ là đường trung trực của $ME$.
$\Rightarrow JM = JE$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
$\Rightarrow OJ$ là đường trung trực của $ME$ (1)
(1) $\Rightarrow \Delta OMJ = \Delta OEJ$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{MOF} = \widehat{EOF}$\\ $\Rightarrow \Delta {OMF} = \Delta {OEF}$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{OMF} = \widehat{OEF}$ (2)
b.
Ta có $\widehat{OMI} = \widehat{ODI} = 90^{\circ}$.
Suy ra $ODIM$ nội tiếp (3).
Ta chứng minh $ODMF$ nội tiếp.
Xét tam giác $OED$ có $\widehat{OED} = \widehat{ODE}$ (do $\Delta ODE$ cân tại $O$).
Theo ý a ta có $\widehat{OMF} = \widehat{OEF}$ nên ta có $\widehat{ODE} = \widehat{ODF} = \widehat{OMF}$.
Suy ra $ODMF$ nội tiếp (do cùng chắn cung $OF$) (4).
Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm $I$; $D$; $O$; $F$; $M$ cùng nằm trên một đường tròn.
c.
Ta có tứ giác $IDOF$ nội tiếp$ \Rightarrow \widehat{DIO} = \widehat{DFO}$ (cùng chắn cung $\overset{\frown}{DO}$)
$\Rightarrow \widehat{AIO} = \widehat{EFO}$ (2 góc kề bù tương ứng) (5)
Lại có tứ giác $ADOE$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{DAO} = \widehat{DEO}$ (6)
Từ (5) và (6) $\Rightarrow \Delta AIO \sim \Delta EFO$ (g.g)
$\Rightarrow \widehat{IOA} = \widehat{EOF}$
Mà $\Rightarrow \widehat{EOF} = \widehat{JOM}$ nên $\Rightarrow \widehat{IOA} = \widehat{JOM}$.
Chứng minh $\sin \widehat{IOA} = \dfrac{MF}{IO}$.
Ta có $\sin \widehat{IOA} = \sin \widehat{JOM} =\dfrac{MJ}{OJ}$ (7)
Mặt khác $JMFO$ nội tiếp (theo ý b) nên $\widehat{JMF} = \widehat{JOI}$.
Suy ra $\Delta{JMF} \sim \Delta{JOI}$ (g.g) $\Rightarrow \dfrac{MJ}{OJ} = \dfrac{MF}{OI}$ (8)
Từ (7) và (8) suy ra $\sin \widehat{IOA} = \dfrac{MF}{IO}$.