Quay lại giao diện cũ
Đề thi tuyển sinh lớp 10 Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2019 - 2020
Rút gọn các biểu thức sau:
a. $A = (\sqrt{12}-2\sqrt5)\sqrt3 + \sqrt{60}$.
b. $B = \dfrac{\sqrt{4x}}{x-3}.\sqrt{\dfrac{x^2-6x+9}x}$ với $0<x<3$.
Hướng dẫn giải
1.
$A = (\sqrt{12}-2\sqrt5)\sqrt3 + \sqrt{60} = \sqrt{36} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 6.$
2.
Với $0<x<3$ ta có
$B = \dfrac{\sqrt{4x}}{x-3}.\sqrt{\dfrac{x^2-6x+9}x} = \dfrac{2\sqrt x}{x-3}.\sqrt{\dfrac{(x-3)^2}x} = \dfrac{-2\sqrt x}{3-x}.\dfrac{|x-3|}{\sqrt x} = \dfrac{-2\sqrt x(3-x)}{(3-x)\sqrt x} = -2.$
1. Xác định hàm số bậc nhất $y = ax + b$ biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm $M(1; -1)$ và $N(2;1)$.
2. Cho phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - m + 3 = 0$ (1), trong đó $m$ là tham số.
a. Giải phương trình (1) với $m = 4$.
b. Tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$; $x_2$ và biểu thức $P = x_1 x_2 - x_1 - x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
1.
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $M(1;-1)$ nên $a+b = -1.$
và đi qua điểm $N(2;1)$ nên $2a + b = 1$.
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & a + b = -1\\ & 2a + b = 1\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a = 2\\ & b = -3\\ \end{aligned}\right.$.
Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x - 3.$
2.a
Với $m = 4$, phương trình $(1)$ trở thành: $x^2 - 8x + 15 = 0$.
$\Delta = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 3$ và $x_2 = 5$.
2.b.
Ta có $\Delta ' = (-m)^2 - 1.(m^2-m+3) = m^2 - m^2 + m -3 = m - 3$.
Phương trình (1) có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ khi $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 3.$
Với $m \ge 3$, áp dụng định lí Vi-et $\left\{ \begin{aligned} & x_1 + x_2 = 2m\\ & x_1x_2 = m^2 - m + 3\\ \end{aligned}\right.$
Ta có: $P = m^2 - m + 3 - 2m = m(m-3) + 3$.
Vì $m \ge 3$ nên $m(m-3) \ge 0$ suy ra $P \ge 3$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m = 3.$
Tình cảm gia đình có sức mạnh thật phi thường. Bạn Vi Quyết Chiến- Cậu bé 13 tuổi quá thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài $180$ km từ Sơn La đến bệnh viện nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp $7$ giờ, bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp $1$ giờ $30$ phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là $35$ km/giờ. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến.
Hướng dẫn giải
Đổi $1$ giờ $30$ phút = $1,5$ giờ.
Gọi vận tốc xe đạp của bạn Chiến là $x$ (km/h, $x > 0$)
Vận tốc của ô tô là $x + 35$ (km/h).
Quãng đường bạn Chiến đi bằng xe đạp là: $7x$ (km)
Quãng đường bạn Chiến đi bằng ô tô là: $1,5( x + 35)$ (km)
Do tổng quãng đường bạn Chiến đi là $180$km nên ta có phương trình:
$7 x + 1,5( x + 35) = 180 \Leftrightarrow 7 x + 1,5 x + 52, 2 = 180 \Leftrightarrow 8,5x = 127,5 \Leftrightarrow x = 15$ (thỏa mãn)
Vậy bạn Chiến đi bằng xe đạp với vận tốc là $15$ km/h.
(Nghệ An - 2019)
Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $MN$ vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $C$ khác điểm $M$. Kẻ $MH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$).
a. Chứng minh $BOMH$ là tứ giác nội tiếp.
b. $MB$ cắt $OH$ tại $E$. Chứng minh $ME.MH = BE.HC$.
c. Gọi giao điểm của đường tròn $(O)$ với đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHC$ là $K$. Chứng minh 3 điểm $C$, $K$, $E$ thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
a.
Ta có $\widehat{MOB} = \widehat{MHB} = 90^{\circ}$ (do $AB \perp MN$ và $MH \perp BC$).
$\Rightarrow \widehat{MOB} + \widehat{MHB} = 180^{\circ}$ nên $BOMH$ là tứ giác nội tiếp.
b.
$\Delta OMB$ vuông cân tại $O$ nên $\widehat{OBM} = \widehat{OMB}$ (1)
Tứ giác $BOMH$ nội tiếp nên $\widehat{OBM} = \widehat{OHM}$ (cùng chắn cung $\overset{\frown}{OM}$).
và $\widehat{OMB} = \widehat{OHB}$ (cùng chắn cung $\overset{\frown}{OB}$) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OHM} = \widehat{OHB}$.
$\Rightarrow HO$ là tia phân giác của $\widehat{MHB} \Rightarrow \dfrac{ME}{BE} = \dfrac{MH}{HB}$ (3)
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta BMC$ vuông tại $H$, đường cao $MH$:
$HM^2 = HC.HB \Rightarrow \dfrac{HM}{HB} = \dfrac{HC}{HM}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{HC}{HM}$ (5) $ \Rightarrow ME.MH = BE.HC$.
c.
Vì $\widehat{MHC} = 90^{\circ}$ nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHC$ có đường kính $MC$.
$\Rightarrow \widehat{MKC} = 90^{\circ}$.
$MN$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{MKN} = 90^{\circ}$.
$\Rightarrow \widehat{MKC} + \widehat{MKN} = 180^{\circ}$ nên 3 điểm $C$, $K$, $N$ thẳng hàng. (*)
$\Delta MHC \sim \Delta BMC$ (g.g) $\Rightarrow \dfrac{HC}{MH} = \dfrac{MC}{BM}$.
Mà $MB = BN$ (do $\Delta MBN$ cân tại $B$) $\Rightarrow \dfrac{HC}{MH} = \dfrac{MC}{BN}$ cùng với (5) ta có $\dfrac{ME}{BE} = \dfrac{MC}{BN}$.
Mà $\widehat{EBN} = \widehat{EMC} = 90^{\circ} \Rightarrow \Delta MCE \sim \Delta BNE$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{MEC} = \widehat{BEN}$ mà $\widehat{MEC} + \widehat{BEC} = 180^{\circ}$ (do $M$, $E$, $B$ thẳng hàng).
$\Rightarrow \widehat{BEC} + \widehat{BEN} = 180^{\circ} \Rightarrow C,E,N$ thẳng hàng (**).
Từ (*) và (**) suy ra 3 điểm $C$, $K$, $E$ thẳng hàng.
Giải phương trình
$\sqrt{5x^2 + 27x + 25} - 5\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 - 4}.$
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: $x \ge 2$
Chuyển vế và bình phương hai vế:
$\sqrt{5x^2 + 27x + 25} - 5\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 - 4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{5x^2 + 27x + 25} = \sqrt{x^2 - 4} + 5\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow 5x^2 + 27x + 25 = x^2 - 4 + 25x + 25 + 10\sqrt{(x+1)(x^2-4)}$
$\Leftrightarrow 4x^2 + 2x + 4 = 10\sqrt{(x+1)(x^2 - 4)}$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - x - 2) + 3(x+2) = 5\sqrt{(x+1)(x^2 - 4)}$
Đặt $a = \sqrt{x^2 - x - 2} \ge 0;$ $b = \sqrt{x+2} \ge 0$.
Phương trình trở thành $5ab = 2a^2 + 3b^2 \Leftrightarrow (a-b)(2a-3b) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a = b\\ & 2a = 3b\\ \end{aligned}\right.$.
+ Với $a = b$ thì $\sqrt{x^2 - x - 2} = \sqrt{x+2} \Leftrightarrow x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 1-\sqrt5 \ \text{(loại)}\\ & x = 1+\sqrt5 \ \text{(thỏa mãn)}\\ \end{aligned}\right.$.
+ Với $2a = 3b$ thì $2\sqrt{x^2 - x - 2} = 3 \sqrt{x+2}$
$\Leftrightarrow 4x^2 - 13x - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8 \ \text{(thỏa mã)n}\\ & x = \dfrac{13 - 3\sqrt{65}}8 \ \text{(loại)}\\ \end{aligned}\right.$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1+\sqrt5$, $x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8$.