Quay lại giao diện cũ
Đề thi thử trường THCS & THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội 2022-2023
(2 điểm) Cho các biểu thức $A=\dfrac{x-16}{\sqrt{x}-2}$ và $B=\dfrac{2 \sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-4}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\dfrac{3 x+\sqrt{x}-4}{16-x}$ với $x \geq 0 ; x \neq 4 ; x \neq 16$
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=\dfrac{1}{4}$.
b) Rút gọn biểu thức $B$.
c) Đặt $P=A.B$ . Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $|P-1|>P-1$.
Hướng dẫn giải
a) Thay $x=\dfrac{1}{4}(\text{tm})$ ta có:
$A=\dfrac{\dfrac{1}{4}-16}{\sqrt{\dfrac{1}{4}}-2}=\dfrac{\dfrac{-63}{4}}{\dfrac{-3}{2}}=\dfrac{21}{2}$.
b) $B=\dfrac{2 \sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-4}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}-\dfrac{3 x+\sqrt{x}-4}{x-16}$
$=\dfrac{(2 \sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+4)+\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)-(3 x+\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}$
$=\dfrac{2 x+7 \sqrt{x}-4+x-4 \sqrt{x}-3 x-\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}$
$=\dfrac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}$
c) $P=A . B=\dfrac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)} . \dfrac{x-16}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$
$|P-1|>P-1 \Leftrightarrow P-1<0 \Leftrightarrow P<1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}<1 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}<0 \Leftrightarrow \sqrt{x}-2<0 \Leftrightarrow 0 \leq x<4$
Mà $x \in Z \Rightarrow x \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}$.
(2 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{aligned}& \dfrac{4}{\sqrt{2 x-1}}+2(y+1)=\dfrac{22}{3} \\& \dfrac{1}{\sqrt{2 x-1}}-3(y-2)=\dfrac{1}{3} \end{aligned}\right.$
2) Tìm các giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là các số nguyên:
$\left\{\begin{aligned}& 2x-my=1 \\& x-(m-1)y=4 \end{aligned}\right.$.
Hướng dẫn giải
1) Điều kiện $x>\dfrac{1}{2}$
Giải hệ tìm được ${x}=5, {y}=2$ (tmđk)
2) TH1: $m=0$ : hệ trở thành: $\left\{\begin{aligned}2 x=1 \\ x+y=4\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{7}{2}\end{aligned}\right.\right.$ (không thỏa mãn điều kiện)
TH2: $m \neq 0$ : hệ có nghiệm duy nhất khi : $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{m-1}{m} \Leftrightarrow m \neq 2$ :
- Tìm được nghiệm duy nhất $\left\{\begin{aligned}x=\dfrac{4 m-1}{m-2} \\ y=\dfrac{-7}{m-2}\end{aligned}\right.$
- Để các nghiệm là số nguyên, tìm được $m \in\{1 ; 3 ;-5 ; 9\}$.
(2,5 điểm)
1) Cho hai đường thẳng $y=-x+4\,\left(d_1\right)$ và $y=(\mathrm{m}-2) x+4\,\left(d_2\right)$.
a) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của $\mathrm{m}$ để $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d_2\right)$.
b) Gọi giao điểm của $\left(d_1\right)$ với $\left(d_2\right)$ là $P$, giao điểm của $\left(d_1\right)$ với trục $O x$ là $A$. Tìm $\mathrm{m}$ để $\left(d_2\right)$ cắt trục $O x$ tại $B$ sao cho $S_{\triangle P A B}=6$.
2) Một máy bay đang bay ở độ cao $10 \mathrm{~km}$, cách sân bay $100 \mathrm{~km}$ và bắt đầu hạ cánh. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay là một đường thẳng tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Tính góc nghiêng đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhât).
Hướng dẫn giải
1a) Vì hai đường thẳng luôn cùng đi qua $P(0;4)$ nên suy ra đpcm.
1b)
+) $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ cắt nhau tại $P(0 ; 4)$, ta có $O P=|4|=4$
+) $\left(d_1\right)$ cắt ${Ox}$ tại $A(4 ; 0)$, với $m \neq 2,\left(d_2\right)$ cắt ${Ox}$ tại $B\left(\dfrac{-4}{m-2} ; 0\right) \Rightarrow A B=\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|$
+Ta có $S_{\triangle P A B}=\dfrac{1}{2} . O P . A B=\dfrac{1}{2} . 4 .\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|=2\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|$
+Theo đề bài: $2\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|=6 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=\dfrac{10}{7}\end{array}\right.$
2) - Vì tam giác ${ABC}$ vuông tại ${A}$ nên ta có: $\sin C=\dfrac{A B}{B C}=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$
- Suy ra góc nghiêng khoảng $5,7^{\circ}$.
(3 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ chứa nửa đường tròn $(O)$, vẽ hai tiếp tuyến $A x, B y$ của nửa đường tròn. Từ điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt $A x,\, B y$ lần lượt tại $P$ và $Q$.
a) Chứng minh bốn điểm $A, P, M, O$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) $A M$ cắt $O P$ tại điểm $I, B M$ cắt $O Q$ tại điểm $K$. Chứng minh $M I O K$ là hình chữ nhật và tính tích $A P . B Q$ theo $R$.
c) Gọi $\mathrm{N}$ là giao điểm của $B P$ và $I K$. Chứng minh rằng khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn $(M$ khác $A$ và $B$ ) thì tỉ số $\dfrac{S_{\triangle A B N}}{S_{\triangle A B M}}$ luôn không đổi.
Hướng dẫn giải
a) - Vì $PA$ là tiếp tuyến của $({O})$ nên $A P \perp O A$.
- Tam giác $APO$ vuông tại ${A}$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $OP$ $(1)$
- Vì $P M$ là tiếp tuyến của $({O})$ nên $P M \perp O M$.
- Tam giác $MPO$ vuông tại ${M}$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $ {OP}$ $(2)$
- Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $4$ điểm $ {A}, {P}, {M}, {O}$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ {OP}$.
b) - Cm được $O P \perp A M,\, O Q \perp B M$
- Tam giác $M A B$ nội tiếp đường tròn đk ${AB}$ nên vuông tại ${M}$.
- Tứ giác $MIOK$ có $3$ góc vuông nên là hình chữ nhật.
- Tính được $A P . B Q=P M . Q M=R^2$
c) - Kẻ $M N \perp A B$ tại $ {H}$, chứng minh được $ {N}$ là trung điềm của $ {MH}$
- Chứng minh được $\dfrac{S_{\triangle A B N}}{S_{\triangle A B M}}=\dfrac{1}{2}$
(0,5 điểm)
Cho 2 số thực $x, y$ thỏa mãn: $0 \leq x \leq 6 ;\, 8 \leq y \leq 15$ và $x+y=15$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2-x y+y^2$.
Hướng dẫn giải
- Ta có $P=(x+y)^2-3 x y$
- Mà $x y \geq 0 \Rightarrow P \leq 225$, đạt được khi $x=0 ; y=15$
- Mặt khác theo AM-GM:
$3 x+2 y \geq 2 \sqrt{3 x . 2 y} \Rightarrow \sqrt{6 x y} \leq \dfrac{3 x+2 y}{2}=\dfrac{2(x+y)+x}{2} \leq \dfrac{2.15+6}{2}=18$
$\Rightarrow 6 x y \leq 324 \Rightarrow x y \leq 54 \Rightarrow P \geq \text {, đạt được khi } x=6 ; y=9$