Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận (7 điểm)
Câu 9. (2 điểm) Tìm số hữu tỉ $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
a) $\dfrac x{-3} = \dfrac74$;
b) $\dfrac{x + 9}{15 - x} = \dfrac23$.
Hướng dẫn giải
a) $\dfrac x{-3} = \dfrac74$
$x = \dfrac{7.(-3)}4$
$x = \dfrac{-21}4$.
b) $\dfrac{x + 9}{15 - x} = \dfrac23$
$(15 - x).2 = (x + 9).3$
$30 - 2x = 3x + 27$
$5x = 3$
$x = \dfrac35$.
Câu 10. (1 điểm) Tìm hai số $x$ và $y$ biết rằng $3x + 4y = 46$ và $2x = 5y$.
Hướng dẫn giải
Từ $2x = 5y$ ta suy ra $\dfrac x5 = \dfrac y2$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\dfrac x5 = \dfrac y2 = \dfrac{3x}{15} = \dfrac{4y}{8} = \dfrac{3x + 4y}{15 + 8} = \dfrac{46}{23} = 2$
Suy ra $x = 2.5 = 10$;
$y = 2.2 = 4$.
Câu 11. (2 điểm) Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong trong $5$ ngày, đội thứ hai cày xong trong $6$ ngày và đội thứ ba trong $8$ ngày. Mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba $5$ máy? (biết rằng năng suất các máy như nhau).
Hướng dẫn giải
Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x$, $y$, $z$ (máy).
Vì diện tích cày là như nhau nên số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Nên $x.5 = y.6 = z.8 \Rightarrow \dfrac x{24} = \dfrac y{20} = \dfrac z{15}$.
Đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba $5$ máy nên $y - z = 5$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\dfrac x{24} = \dfrac y{20} = \dfrac z{15} = \dfrac{y-z}{20 - 15} = \dfrac55 = 1$
Suy ra $x = 24$; $y = 20$; $z = 15$.
Câu 12. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 120^{\circ}$. Trên cạnh $BC$ lấy hai điểm $M,$ $N$ sao cho $MA$, $NA$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$. Chứng minh rằng:
a) $\Delta BAM = \Delta CAN$;
b) $BN = CM$;
c) $\Delta ANB$ cân tại $N$.
Hướng dẫn giải
a) Do $MA \perp AB$ và $NA \perp AC$ nên $\widehat{BAM} = \widehat{CAN} = 90^{\circ}$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
Xét hai tam giác $BAM$ và $CAN$ có:
$\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$;
$AB = AC$ (cmt);
$\widehat{BAM} = \widehat{CAN}$;
Vậy $\Delta BAM = \Delta CAN$ (g.c.g).
b) $\Delta BAM = \Delta CAN$ suy ra $BM = CN$ (hai cạnh tương ứng).
Mà $BM = BN + NM$ và $CN = CM + MN$.
Suy ra $BN = CM$.
c) Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{A B C}+\widehat{A C B}+\widehat{B A C}=180^{\circ}$.
Mà $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}$ nên $2 \widehat{A B C}=180^{\circ}-\widehat{B A C}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
Do đó $\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=30^{\circ}$.
Do $\triangle B A M=\triangle C A N$ (cmt) nên ${AM}={AN}$ (hai cạnh tương ứng).
Do đó tam giác $AMN$ cân tại $A$ (1).
Xét tam giác $CAN$ vuông tại $A$ có $\widehat{A N C}+\widehat{A C N}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Do đó $\widehat{A N C}=90^{\circ}-\widehat{A C N}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra tam giác $AMN$ đều.
Do đó $\widehat{M A N}=60^{\circ}$.
Ta có: $\widehat{M A N}+\widehat{N A B}=\widehat{M A B}$.
Suy ra $\widehat{N A B}=\widehat{M A B}-\widehat{M A N}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
Do đó $\widehat{N A B}=\widehat{A B N}=30^{\circ}$.
Suy ra tam giác $ANB$ cân tại $N$.