Quay lại giao diện cũ
🔺Đề thi thử số 3 - bộ Kết nối tri thức (phần tự luận)
Câu 1. (1,5 điểm) Tổng chi phí $P$ (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi biểu thức $P(x)=x^2+30 x+3 \, 300$; giá bán một sản phẩm là $170$ nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong khoảng nào sẽ đảm bảo nhà sản xuất không bị lỗ (giả sử các sản phẩm được bán hết)?
Hướng dẫn giải
Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170 x$ (nghìn đồng).
Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là $170 x \geq x^2+30 x+3 \, 300 \Leftrightarrow x^2-140 x+3 \, 300 \leq 0$.
Xét $x^2-140 x+3 \, 300=0 \Rightarrow x=30$ hoặc $x=110$.
Bảng xét dấu $f(x) = x^2 - 140x + 3 \, 300$:
Ta có: $x^2-140 x+3 \, 300 \leq 0 \Leftrightarrow x \in[30 ; 110]$.
Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ $30$ đến $110$ sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.
Câu 2. (1 điểm) Giải phương trình: $\sqrt{2 x^2+5}=\sqrt{x^2-x+11}$.
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế phương trình, ta được: $2 x^2+5=x^2-x+11 \Leftrightarrow x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-3$.
Thay giá trị $x=2$ vào phương trình: $\sqrt{13}=\sqrt{13}$ (thỏa mãn).
Thay giá trị $x=-3$ vào phương trình: $\sqrt{23}=\sqrt{23}$ (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\{2 ;-3\}$.
Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho hai điểm $A(3 ;-5), B(1 ; 0)$.
a) Tìm tọa độ điểm $C$ sao cho $\overrightarrow{O C}=-3 \overrightarrow{A B}$.
b) Tìm điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $C$.
Hướng dẫn giải
a) Gọi $C\left(x_C ; y_C\right)$.
Ta có: $\overrightarrow{O C}=\left(x_C ; y_C\right)$, $\overrightarrow{A B}=(-2 ; 5) \Rightarrow-3 \overrightarrow{A B}=(6 ;-15)$;
$ \overrightarrow{O C}=-3 \overrightarrow{A B} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &x_C=6 \\ &y_C=-15\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow C(6 ;-15)$
b) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$ hay $C$ là trung điểm của $A D \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &x_C=\dfrac{x_A+x_D}{2} \\ &y_C=\dfrac{y_A+y_D}{2}\\ \end{aligned}\right. $
$\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &x_D=2 x_C-x_A=2.6-3=9\\ &y_D=2 y_C-y_A=2(-15)-(-5)=-25\\ \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow D(9 ;-25) $.
Câu 4. (1 điểm) Viết phương trình đường thẳng $d$ song song với $\Delta: \, x+4 y-2=0$ và cách điểm $A(-2 ; 3)$ một khoảng bằng $3$ .
Hướng dẫn giải
Ta có: $d$ // $\Delta: \, x+4 y-2=0 \Rightarrow$ Phương trình $d$ có dạng: $x+4 y+c=0$.
Mặt khác: $d(A, d)=3 \Rightarrow \dfrac{|-2+4.3+c|}{\sqrt{1+16}}=3 \Rightarrow|10+c|=3 \sqrt{17}$
$\Rightarrow\left[\begin{aligned} &c = 3 \sqrt{17} - 10 \\ & c= - 3 \sqrt {17} - 10 \\ \end{aligned}\right. \Rightarrow \left[\begin{aligned} &d_1: x+4 y+3 \sqrt{17}-10=0 \\ &d_2: x+4 y-3 \sqrt{17}-10=0 \end{aligned}\right.$
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: $x+4 y+3 \sqrt{17}-10=0 $; $x+4 y-3 \sqrt{17}-10=0$.