Quay lại giao diện cũ
Phần tự luận
Câu 9. (2 điểm) Tìm số hữu tỉ $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
a) $\dfrac x{-4} = \dfrac{-11}2$;
b) $\dfrac{15 - x}{x + 9} = \dfrac35$.
Hướng dẫn giải
a) $\dfrac x{-4} = \dfrac{-11}2$
$x = \dfrac{(-11).(-4)}2$
$x = 22$.
b) $\dfrac{15 - x}{x + 9} = \dfrac35$
$(15 - x).5 = (x + 9).3$
$75 - 5x = 3x + 27$
$8x = 48$
$x = 6$.
Câu 10. (2 điểm) Cho hai đa thức: $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1$ và $Q(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 4$.
a) Tính $P(x) - Q(x)$.
b) Chứng minh rằng $x = 1$ là nghiệm của cả hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có $P(x) - Q(x) = (x^3 - 3x^2 + x + 1) - (2x^3 - x^2 + 3x - 4)$
$= x^3 - 3x^2 + x + 1 - 2x^3 + x^2 - 3x + 4$
$= -x^3 - 2x^2 - 2x + 5$.
b) Thay $x = 1$ vào hai đa thức ta có:
$P(1) = 1^3 - 3.1^2 + 1 + 1 = 0$
$Q(1) = 2.1^3 - 1^2 + 3.1 - 4 = 0$
Vậy $x = 1$ là nghiệm của cả hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$.
Câu 11. (2 điểm) Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong trong $5$ ngày, đội thứ hai cày xong trong $6$ ngày và đội thứ ba trong $8$ ngày. Mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba $5$ máy? (biết rằng năng suất các máy như nhau).
Hướng dẫn giải
Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x$, $y$, $z$ (máy).
Vì diện tích cày là như nhau nên số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Nên $x.5 = y.6 = z.8 \Rightarrow \dfrac x{24} = \dfrac y{20} = \dfrac z{15}$.
Đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba $5$ máy nên $y - z = 5$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\dfrac x{24} = \dfrac y{20} = \dfrac z{15} = \dfrac{y-z}{20 - 15} = \dfrac55 = 1$
Suy ra $x = 24$; $y = 20$; $z = 15$.
Câu 12. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ ;$BD$ là phân giác của góc $B$. Các tam giác $BAF$ và $BDE$ cùng cân tại đỉnh $B$.
a) Chứng minh $\Delta BAD = \Delta BFD$.
b) Chứng minh $\Delta DEF$ cân.
Hướng dẫn giải
a) Xét hai tam giác $BAD$ và $BFD$ có:
$\widehat{ABD} = \widehat{FBD}$ (vì $BD$ là tia phan giác của góc $B$);
$AB = BF$ ($\Delta ABF$ cân tại $B$);
$BD$ là cạnh chung;
Vậy $\Delta BAD = \Delta BFD$ (c.g.c).
b) $\Delta BAD = \Delta BFD$ suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{BFD} = 100^{\circ}$ (hai góc tương ứng).
Suy ra $\widehat{DFE} = 180^{\circ} - \widehat{BFD} = 80^{\circ}$. (1)
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180^{\circ} - 100^{\circ}}2 = 40^{\circ}$
Suy ra $\widehat{DBE} = 20^{\circ}$.
Tương tự, tam giác $BDE$ cân tại $B$ nên $\widehat{BED} = \dfrac{180^{\circ} - 20^{\circ}}2 = 80^{\circ}$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta DEF$ cân tại $D$.