Rút gọn biểu thức $P=(\frac{x-3\sqrt{x}}{x-9}-1):(\frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3})$ với $x\ge 0,x\ne 4,x\ne 9$.

Bài làm

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $z^2=x^3+y^3$ và $z^2=3xy+z$. Tính giá trị của biểu thức $M=(x+y-z{)}^{2025}+(x+y{)}^{2026}-z^{2026}$.

Bài làm

Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+1}+x=2y+1\\ \sqrt{y^2+1}+y=2x+1\end{array}$.

Bài làm

Cho một lưới ô vuông gồm $3\cdot 3$ ô hình vuông, các đỉnh của lưới là các giao điểm của các đường kẻ ngang và dọc. Từ tất cả các đỉnh đó, chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh. Tính xác suất để $3$ đỉnh được chọn tạo thành một tam giác.

Bài làm

Tìm tất cả các số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình: $(x+y{)}^2+xy=2(x+y)(xy+1)$.

Bài làm

Một đại lý nhập trái cây theo từng đợt; chỉ khi bán hết hàng cũ mới nhập đợt mới. Chi phí vận chuyển cho mỗi đợt nhập là $25$ triệu đồng. Mỗi tạ trái cây trong kho phải chịu chi phí bảo quản $80$ nghìn đồng mỗi ngày. Toàn bộ số trái cây đều được tính chi phí bảo quản cho mỗi ngày kể từ sau khi nhập về. Ngay sau khi nhập hàng, đại lý bán được $25$ tạ mỗi ngày. Hỏi: Mỗi đợt đại lý nên nhập lượng trái cây đủ bán trong bao nhiêu ngày để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất?

Bài làm

Một cái sân hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=16$ m, $AD=12$ m. Một camera an ninh được lắp ở trung điểm $M$ của cạnh $AB$. Biết rằng góc nhìn của camera là $90^{\circ }$.

Hãy tính diện tích sân mà camera có thể quan sát được khi camera bắt đầu quét tới trung điểm $N$ của cạnh $AD$. Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy.

Bài làm

Giả sử đường tròn $(I)$ nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $K,P,Q$ ($CA<CB$, góc $\widehat{BAC}$ tù). Gọi $R$ là trung điểm của $PK$, $L$ là giao điểm của tia $IC$ với $(I)$.

Bài làm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên các cạnh $AB,BC,CA$ theo thứ tự lấy các điểm $D,E,F$ sao cho $DE\perp BC$ và $DE=DF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh rằng $\widehat{BCM}=\widehat{BFE}$.

Bài làm

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc cần di chuyển đến điểm $B$ cách $A$ một đoạn $70$ km. Trong sa mạc, ô tô chỉ chạy được với vận tốc $30$ km/h. Có một con đường nhựa song song với $AB$ và cách $AB$ một khoảng $10$ km.

Trên đường nhựa, ô tô có thể chạy với vận tốc $50$ km/h. Nhà địa chất dự định chọn một điểm $C$ trên đường nhựa để đi từ $A$ đến $C$ bằng đường thẳng trong sa mạc, sau đó đi trên đường nhựa từ $C$ đến $D$, rồi lại đi qua sa mạc từ $D$ đến $B$. Hỏi thời gian ít nhất để nhà địa chất đi từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu?

Bài làm