Đề thi học kì II - Tỉnh Lâm Đồng (2021)

Theo công thức tính độ dài đường tròn: $C=2.\pi.r=10\pi$  ($cm$)

+) Ta lập bảng giá trị của hàm số $y=-x^{2}$.

+) Ta vẽ đồ thị hàm số $y=-x^2$.

Xét tứ giác ABHI:

$\widehat{IAB}+\widehat{IHB}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

$\Rightarrow$ Tứ giác ABHI nội tiếp.

Sđ $\stackrel\frown{AC}=2\widehat{ABC}=2.50^{\circ}=100^{\circ}$ (góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^{\circ}$) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l} 3x+y=14\\2 x-y=1 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 5x=15\\y=2x-1 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3\\y=5 \end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(3;5)$.

Đặt $x^2=t$ ($t \ge 0$)

Phương trình trở thành:

$t^2+3t-10=0$

$\Leftrightarrow (t-2)(t+5)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t-2=0\\t+5=0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t-2=0\\t+5=0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=2 (\text{tm})\\t=-5 (\text{không tm}) \end{array}\right.$

Với $t=2 \Rightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x= \pm \sqrt{2}$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in \{\pm \sqrt{2}\}$.

Ta có: $x^{2}-3 x+2 m+1=0$   (1)

Để phương trình (1) có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta =0 \Leftrightarrow 9-4(2m+1)=0 \Leftrightarrow m=\dfrac{5}{8}$

Nghiệm kép đó là: $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{3}{2}$

Vậy $m=\dfrac{5}{8}$ thì phương trình có nghiệm kép và nghiệm kép bằng $x=\dfrac{3}{2}$.

Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

$S_{xq}=\pi.r.l=6\pi.l=60\pi$ (cm$^2$)

Suy ra $l=10$ cm

Xét $\Delta AOB$ vuông tại $O$:

$AO^2+BO^2=AB^2$ (Định lý Pytago)

$\Rightarrow AO=8$ cm

Thể tích của khối nón là: $V=\dfrac{1}{3} \pi.r^2.h=\dfrac{1}{3}.\pi.6^2.8=96\pi$(cm$^3$)

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(P)$ và $(d)$ là:

$2x^2=3x-1 \Leftrightarrow 2x^2-3x+1=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(2x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x-1=0\\2x-1=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \Rightarrow y=2\\x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

Vậy giao điểm giữa $(d)$ và $(P)$ là $(1;2)$ và $(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$.

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất là $x$(m) ($x>0$)

Do chiều dài gấp 4 lần chiều rộng nên chiều dài ban đầu là $4x$(m)

Chiều dài mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là : $2.4x=8x$(m)

Chiều rộng mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là: $x-2$(m) 

Vì diện tích mảnh đất tăng thêm $20 $m$^2$ nên ta có phương trình: $8x(x-2)=20+4x.x$

$\Leftrightarrow  4x^2-16x-20=0$

$\Leftrightarrow$  $x^2-4x-5=0$

$\Leftrightarrow  (x-5)(x+1)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-5=0 \\ x+1=0\end{array}  \right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=5 \quad (\text{tm}) \\ x=-1 \quad (\text{không tm}) \end{array}  \right.$

Vậy chiều dài ban đầu của mảnh đất là $4.5=20 $m.

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là $5$m.

Ta có: $x^{2}-2(m+1) x-4 m-12=0$ (1)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$

$\Leftrightarrow \Delta' >0 \Leftrightarrow (m+1)^2+4m+12>0 \Leftrightarrow m^2+6m+13=(m+3)^2+4>0$ (luôn đúng)

Theo hệ thức Vi-et, ta có: 

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2m+2\\x_{1}.x_{2}=-4m-12\end{array}\right.$

Theo đề bài: $x_{1}-x_{2}=4$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2m+2\\x_{1}-x_{2}=4\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_{1}=m+3\\x_{2}=m-1\end{array}\right.$

Mặt khác: $x_{1}.x_{2}=-4m-12 \Rightarrow (m+3)(m-1)=-4m-12 \Leftrightarrow m^2+6m+9=0 \Leftrightarrow m=-3$

Vậy $m=-3$ thì thỏa mãn bài toán.